$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Interpolation de fonctions par des polynômes

  Vous avez mesuré la concentration d'un produit A dans une solution aux temps t=0, t=5 min, t=10 min, t=20 min et t=30 min. Comment en déduire la concentration du produit pour t=15 min? Ce problème, qui consiste en évaluer la valeur d'une fonction en tous ses points à partir de ses valeurs en certains points s'appelle le problème de l'interpolation.

  On dispose donc d'une fonction $f$, continue sur un intervalle $I$, et de $N$ points $x_1,\dots,x_N$, où on connait $y_i=f(x_i)$. L'interpolation polynomiale consiste à approcher $f$ par un polynôme $P$ qui vérifie $P(x_i)=y_i=f(x_i)$ pout tout $i=1,\dots,n$. On dit que $P$ interpole $f$ en $x_i$. On démontre qu'il existe exactement un polynôme de degré au plus $N-1$ qui vérifie cela : c'est le polynôme interpolateur de Lagrange.

  Est-ce que cela fonctionne? C'est-à-dire, si l'on connait mieux $f$, ie on connait sa valeur en de nombreux points, est-ce que le polynôme d'interpolation $P$ approche bien $f$ là où on ne connait pas $f$? Ce n'est malheureusement pas toujours le cas. Dans la figure ci-dessous, on a tracé en rouge la fonction $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+0,01}$ et en bleu le polynôme d'interpolation (de degré 8) en les points d'abscisse -1;-0,75;-0,5;-0,25;0;0,25;0.5;0,75,1. Un phénomène très étrange se passe au bord, le polynôme n'approche pas du tout $f$ et si l'on avait plus de points, toujours en les prenant de façon équirépartie, cela aurait été encore pire! On appelle ce phénomène de non-convergence des polynômes d'interpolation vers la fonction le phénomène de Runge.

  Il existe d'autres moyens de réaliser une meilleure interpolation polynômiale. Par exemple, l'interpolation de Hermite suggère, lorsque la fonction $f$ est dérivable, de prendre un polynôme $P$ avec $P(x_i)=f(x_i)$ et $P'(x_i)=f'(x_i)$ (on interpole donc à la fois la fonction et sa dérivée. Sur la même figure, le polynôme d'interpolation de Hermite en -1;-0,5;0;0,5;1 a été représenté en violet. Tout comme celui de Lagrange, il est de degré 8. Mais l'approximation est bien meilleure!
Consulter aussi...