$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Intégrale à paramètre

Supposons que $f$ soit une fonction de deux variables définies sur $J\times I$, où $I$ et $J$ sont des intervalles, à valeurs dans $\mathbb R$. On peut alors intégrer $f$ par rapport à une variable, par exemple la seconde, sur l'intervalle $I$. On obtient une valeur qui dépend de la première variable. Plus précisément, on définit une fonction F sur $I$ par $$F(x)=\int_J f(x,t)dt.$$ On dit que la fonction $F$ est une intégrale dépendant du paramètre $x$. On parle plus communément d'intégrale à paramètre.

Bien sûr, on ne peut pas en général calculer explicitement la valeur de $F(x)$ pour chaque $x$. Pour pouvoir étudier $F$, on a besoin de théorèmes généraux permettant de déterminer si $F$ est continue, dérivable et de pouvoir exprimer la dérivée.

Continuité d'une intégrale à paramètre
Théorème de continuité des intégrales à paramètres : Soit $A$ une partie d'un espace normé de dimension finie, $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f$ une fonction définie sur $A\times I$ à valeurs dans $\mathbb K$. On suppose que
  • pour tout $t\in I$, la fonction $x\mapsto f(x,t)$ est continue sur $A$;
  • pour tout $x\in A$, la fonction $t\mapsto f(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$;
  • il existe $g:I\to\mathbb R_+$ continue par morceaux et intégrable telle que, pour tout $x\in A$ et tout $t\in I$, $$|f(x,t)|\leq g(t).$$
Alors la fonction $F:x\mapsto \int_I f(x,t)dt$ est continue sur $A$.

Le théorème précédent est énoncé dans un cadre peu général. On peut remplacer continue par morceaux par mesurable, remplacer la mesure de Lebesgue par toute autre mesure positive.... Il est en revanche important de noter que la fonction notée $g$ qui majore ne dépend pas de $x$. On a besoin d'une telle fonction car ce théorème est une conséquence facile du théorème de convergence dominée.

Dérivabilité d'une intégrale à paramètre
Théorème de dérivabilité des intégrales à paramètres : Soit $I,J$ deux intervalles de $\mathbb R$ et $f$ une fonction définie sur $J\times I$ à valeurs dans $\mathbb K$. On suppose que
  • pour tout $x\in J$, la fonction $t\mapsto f(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$ et intégrable sur $I$;
  • $f$ admet une dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}$ définie sur $J\times I$;
  • pour tout $x\in J$, la fonction $t\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$;
  • pour tout $t\in I$, la fonction $x\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)$ est continue sur $J$;
  • il existe $g:I\to\mathbb R_+$ continue par morceaux et intégrable telle que, pour tout $x\in J$ et tout $t\in I$, $$\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\right|\leq g(t).$$
Alors la fonction $F:x\mapsto \int_I f(x,t)dt$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $J$ et, pour tout $x\in J$, $F'(x)=\int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt$.
Holomorphie d'une intégrale à paramètre
Théorème : Soit $(T,\mathcal T,\mu)$ un espace mesuré, $U$ un ouvert de $\mathbb C$, et $f:U\times T\to\mathbb C$. On suppose que $f$ vérifie les propriétés suivantes :
  • Pour tout $z$ de $U$, la fonction $t\mapsto f(z,t)$ est mesurable;
  • Pour tout $t$ de $T$, la fonction $z\mapsto f(z,t)$ est holomorphe dans $U$;
  • Pour toute partie compacte $K$ de $U$, il existe une fonction $u_K\in L^1(T,\mu)$ telle que, pour tout $z$ de $U$ et tout $t$ de $T$, on a $|f(z,t)|\leq |u_K(t)|$.
Alors la fonction $F$ définie sur $U$ par $$F(z)=\int_T f(z,t)d\mu(t)$$ est holomorphe dans $U$. De plus, toutes les dérivées de $F$ s'obtiennent par dérivation sous le signe intégral.