$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Intervalle de confiance

  Lorsqu'on estime la valeur d'un paramètre d'une loi de probabilité à partir d'un échantillon, on ne peut pas garantir de trouver la valeur exacte de . En revanche, il est souhaitable de pouvoir dire à partir de l'estimation que la valeur de est dans l'intervalle [a,b] avec un risque d'erreur inférieur ou égal à p%. On dit alors que [a,b] est un intervalle de confiance du paramètre avec un niveau de risque de p% (ou un niveau de confiance de (100-p)%).

  Prenons l'exemple d'un institut de sondage qui, avant le second tour d'une élection présidentielle, interroge n électeurs. Parmi eux, 53% déclarent qu'ils vont voter pour le candidat A. Peut-il garantir pour autant la victoire du candidat A avec un risque d'erreur inférieur ou égal à 5%. Il faut pour cela que [50,100] soit un intervalle de confiance pour l'estimation du paramètre "Pourcentage de personnes qui vont voter A". Ceci dépend bien sûr de la taille de l'échantillon interrogé. Plus n est grand, meilleure est l'estimation.

Intervalle de confiance pour la moyenne d'une loi normale
  On suppose qu'une variable aléatoire X suit une loi normale d'espérance m. On a observé un échantillon x1,...,xn de réalisations de cette variable aléatoire. On calcule
la moyenne de l'échantillon, puis l'écart-type non biaisé
Soit dans ]0,1[ le niveau de confiance que l'on souhaite. Soit la fonction de répartition de la loi normale et tel que . Alors un intervalle de confiance de confiance pour m avec un niveau de confiance est donné par
La valeur de se lit dans les tables de la loi normale.

Intervalle de confiance d'une proportion
  On suppose qu'une certaine propriété est vérifiée par une partie de la population étudiée. On a effectué n observations et la propriété a été observée k fois. La proportion de gens qui vérifient la propriété est donc estimée à p=k/n. En notant comme ci-dessus la fonction de répartition de la loi normale et tel que , l'intervalle de confiance de confiance pour la valeur de p avec un niveau de confiance est donné par

Application numérique
  On reprend le sondage du début de l'article et écrivons suivant n la valeur de l'intervalle de confiance pour valant 0,95.
n=100 : [43,2;62,8]
n=1000 : [49,9; 56,1]
n=10000 : [52;54]

La première ligne du tableau signifie qu'au terme du sondage, on peut affirmer avec un risque d'erreur inférieur ou égal à 5% que le candidat A fera entre 43,2% et 63,8% des voix. De quoi relativiser les résultats des divers sondages où des résultats précis sont assénés!

  Grâce au programme suivant, la BibM@th vous propose de retrouver les intervalles de confiance d'un sondage. Vous n'avez qu'à rentrer le nombre de gens interrogés et le résultat du sondage.
Nombre de personnes interrogés :
Résultat du sondage (en %) :
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