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Dictionnaire de mathématiques > Fondements > Théorie des ensembles >

Injection - Surjection - Bijection

  Dans toute la suite, $E$ et $F$ désignent des ensembles et $f$ une fonction de $E$ dans $F$.
Injection
  Une fonction $f:E\to F$ est dite injective si deux éléments de l'ensemble de départ ont toujours deux images par $f$ distinctes dans l'ensemble d'arrivée. Une autre façon de formuler cette définition est de dire que, pour tout $y\in F$, l'équation $y=f(x)$ admet toujours au plus une solution.

  Un bon exemple de fonction injective est le numéro de Sécurité Sociale : deux personnes ont toujours un numéro de Sécurité Sociale différent... La fonction qui à une personne associe son numéro de Sécurité Sociale est injective! En revanche, il existe plusieurs personnes qui sont nées un 06 février 1977. La fonction qui à une personne associe sa date de naissance n'est pas injective.
  Avec des quantificateurs, on a la définition suivante :
Définition $f$ est injective si pour tous $a,b$ de $E$, $f(a)=f(b)$ entraîne $a=b$.
  Si $E$ et $F$ sont des ensembles finis, il ne peut y avoir une injection de $E$ dans $F$ que si $F$ a plus d'éléments que $E$.
Surjection
  Une fonction $f:E\to F$ est dite surjective si, pour tout élément $y$ de $F$ (l'ensemble d'arrivée), l'équation $y=f(x)$ admet toujours au moins une solution $x$ appartenant à $E$ (l'ensemble de départ).

  Par exemple, si on prend un troupeau de vaches, la fonction qui à une patte associe la vache à qui cette patte appartient est surjective! Si $E$ et $F$ sont des ensembles finis, l'existence d'une surjection de $E$ sur $F$ implique que le nombre d'éléments de $F$ est inférieur ou égal au nombre d'éléments de $E$.
Bijection
  Une fonction $f:E\to F$ est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective, ou encore si pour tout $y\in F$, l'équation $y=f(x)$ possède une unique solution. Si $E$ et $F$ sont des ensembles finis, $E$ et $F$ doivent alors avoir le même nombre d'éléments.

  Un théorème couramment utilisé est qu'une fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ continue et strictement croissante réalise une bijection de $\mathbb R$ sur son image par $f$.