$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Injection - Surjection - Bijection

  Dans toute la suite, $E$ et $F$ désignent des ensembles et $f$ une fonction de $E$ dans $F$.
Injection
  Une fonction $f:E\to F$ est dite injective si deux éléments de l'ensemble de départ ont toujours deux images par $f$ distinctes dans l'ensemble d'arrivée. Une autre façon de formuler cette définition est de dire que, pour tout $y\in F$, l'équation $y=f(x)$ admet toujours au plus une solution.

  Un bon exemple de fonction injective est le numéro de Sécurité Sociale : deux personnes ont toujours un numéro de Sécurité Sociale différent... La fonction qui à une personne associe son numéro de Sécurité Sociale est injective! En revanche, il existe plusieurs personnes qui sont nées un 06 février 1977. La fonction qui à une personne associe sa date de naissance n'est pas injective.
  Avec des quantificateurs, on a la définition suivante :
Définition $f$ est injective si pour tous $a,b$ de $E$, $f(a)=f(b)$ entraîne $a=b$.
  Si $E$ et $F$ sont des ensembles finis, il ne peut y avoir une injection de $E$ dans $F$ que si $F$ a plus d'éléments que $E$.
Surjection
  Une fonction $f:E\to F$ est dite surjective si, pour tout élément $y$ de $F$ (l'ensemble d'arrivée), l'équation $y=f(x)$ admet toujours au moins une solution $x$ appartenant à $E$ (l'ensemble de départ).

  Par exemple, si on prend un troupeau de vaches, la fonction qui à une patte associe la vache à qui cette patte appartient est surjective! Si $E$ et $F$ sont des ensembles finie, l'existence d'une surjection de $E$ sur $F$ implique que le nombre d'élément de $F$ est inférieur ou égal au nombre d'éléments de $E$.
Bijection
  Une fonction $f:E\to F$ est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective, ou encore si pour tout $y\in F$, l'équation $y=f(x)$ possède une unique solution. Si $E$ et $F$ sont des ensembles finis, $E$ et $F$ doivent alors avoir le même nombre d'éléments.

  Un théorème couramment utilisé est qu'une fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ continue et strictement croissante réalise une bijection de $\mathbb R$ sur son image par $f$.