L'infini en mathématiques

L'infini est une notion mathématique omniprésente, que parfois on a du mal à maîtriser. C'est un concept qui peut prendre différents sens. Nous vous invitons à en découvrir quelques-uns.

En analyse, on dit souvent qu'une suite de nombres, ou qu'une fonction, tend vers l'infini. Prenons la suite des nombres pairs : 2,4,6,8,10,... Les valeurs que la suite prend sont de plus en plus grandes, et finissent par dépasser n'importe quel nombre. En termes mathématiques, on dit que la suite tend vers l'infini.

Prenons maintenant une suite $(u_n)$ de rationnels qui approche $\pi,$ par ex $3,$ $3.1,$ $3.14,$ $3.141,$ $3.1415,$ et ainsi de suite. Cette suite s'approche de $\pi$ de plus en plus, mais sans jamais atteindre ce nombre. On dit que la suite $(u_n)$ converge vers $\pi,$ ou encore que $|u_n-\pi|$ devient infiniment petit : cette quantité devient plus petite que n'importe quel nombre strictement positif à partir d'un certain rang $n.$

Qu'est-ce qu'un ensemble infini? Monsieur de La Palisse pourrait me répondre : c'est un ensemble qui n'est pas fini! Et il n'aurait pas tort! Les mathématiciens ont une définition plus axiomatique. Un ensemble $A$ est infini s'il peut être mis en correspondance (en bijection) avec une de ses parties $B$ avec $B\neq A.$ Prenons l'ensemble des entiers naturels. Une de ses parties stricte est l'ensemble des nombres pairs. La multiplication par 2 associe à chaque entier un entier pair; tous les entiers pairs sont obtenus et ils sont obtenus une et une seule fois. Ainsi, l'ensemble des entiers naturels est en bijection avec l'ensemble des entiers pairs, qui est strictement contenu dans lui même. Donc l'ensemble des nombres entiers est infini!

Une chose que l'on sait moins, c'est que pour les mathématiciens, tous les ensembles infinis ne sont pas équivalents. À chaque ensemble infini, on associe son "nombre" d'éléments. Bien sûr, ce nombre n'est pas un nombre entier au sens classique, mais un nombre transfini. Ainsi, on prouve que le nombre d'éléments de l'ensemble des entiers est très inférieur au nombre d'éléments de l'ensemble des réels.

Cela peut paraître surprenant au premier abord, mais on peut aussi parler de l'infini quand on fait de la géométrie. On décide en effet d'ajouter à toutes les droites parallèles qui suivent une même direction un point à l'infini, commun à toutes ces droites. L'ensemble des points à l'infini est la droite de l'infini. Ce n'est pas si absurde, car notre perception physique du monde est faite ainsi : pour nous, toutes les droites parallèles entre elles se coupent en un même point, à l'horizon, et la droite de l'horizon est ce que nous avons appelé la droite de l'infini. C'est aussi ce qui se produit lorsqu'on représente des objets en dimension 3 par une perspective cavalière

Cette façon de voir la géométrie en "ajoutant" une droite à l'infini s'appelle la géométrie projective. Elle est intéressante, car elle permet d'unifier de nombreux théorèmes. En effet, on distingue souvent deux cas en géométrie :

En géométrie projective, le premier cas n'existe pas car toutes les droites se coupent!

Voici une explication poétique à la géométrie projective. Elle est dûe à Jean-Luc Moreau, dans son poèmes "Géométrie", extrait des Poèmes de la souris verte, aux éditions Poche Jeunesse.

Deux droites parallèles
Depuis longtemps s'aimaient.
- Nous toucher, disaient-elles.
Le pourrons nous jamais?
Messieurs les géomètres
Nous parlent d'infini;
C'est bien beau de promettre,
Mais tant de kilomètres
Ca nous donne le tournis!
- Si le sort vous accable,
Leur répondis-je alors,
Rapprochez-vous, que diable,
Rapprochez-vous encore!
Ma remarque opportune
Leur fut d'un grand secours:
Il n'en reste plus qu'une,
Quel beau roman d'amour!