$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Inégalité d'Hadamard

  Soit M une matrice carrée dont les vecteurs colonnes sont X1,...,Xn. On note la norme euclidienne de Xi. Précisément,

Théorème : On a l'inégalité suivante :

Dans le cas où aucun des Xi n'est nul, on a égalité si, et seulement si, les vecteurs (Xi) sont orthogonaux deux à deux.

  La démonstration de cette inégalité n'est pas très difficile : si les vecteurs colonnes (X1,...,Xn) sont liés, le déterminant est nul et l'inégalité est triviale. Sinon, (X1,...,Xn) forme une base de Rn auquel on peut appliquer le procédé de Schmidt pour obtenir une base orthonormale (U1,...,Un) tel que pour tout p vect(X1,...,Xp)=vect(U1,...,Up). Si P est la matrice de passage de (U1,...,Un) à (X1,...,Xn), P est une matrice triangulaire supérieure. Remarquons que M est la matrice de passage de la base canonique (e1,...,en) à (X1,...,Xn), et notons B la matrice des vecteurs colonnes (U1,...,Un). Les formules de changement de base donnent M=BP. D'autre part, B est une matrice orthogonale (c'est une matrice de passage d'une base orthonormale à une autre), et en particulier, |det(B)|=1. On a donc :
puisque P est triangulaire supérieure. Mais,
et ceci achève de prouver le résultat.

  Géométriquement, l'inégalité exprime que, pour des côtés de longueur donnée, un parallélépipède est de volume maximal s'il est rectangle.
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