$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Indice d'un lacet par rapport à un point

Soit un lacet (ou circuit) $\gamma$ tracé dans $\mathbb C$, et un point $a\in\mathbb C$ n'appartenant pas au support de $\gamma$. On appelle indice de $\gamma$ par rapport à $a$ le nombre : $$\textrm{ind}(\gamma,a)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{dz}{z-a}.$$

Ce nombre en apparence curieux a une signification topologique précise : $\textrm{ind}(\gamma,a)$ est toujours un entier relatif qui représente le nombre de tours fait par autour de a, en comptant positivement les tours effectués dans le sens direct, et négativement ceux effectués dans le sens rétrograde.

Il existe un moyen empirique pour calculer $\textrm{ind}(\gamma,a)$. Tracons une demi-droite d'origine $a$. Elle partage le plan en deux côtés, un côté positif et un coté négatif (on passe du côté négatif au côté négatif en suivant le sens trigonométrique). Le support de $\gamma$ coupe cette demi-droite en un nombre fini de points $a_1,\dots,a_q$. A chaque point $a_i$ on associe un nombre $n_i$ qui vaut :

  • +1 si $\gamma$ passe du côté positif au côté négatif en $a_i$.
  • -1 si $\gamma$ passe du côté négatif au côté positif en $a_i$.
On a alors $\textrm{ind}(\gamma,a)=n_1+\cdots+n_q$.

Exemple :