$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Indicateur d'Euler

  Soit un entier $n>1$. On appelle indicateur d'Euler de $n$ l'entier $\phi(n)$ défini par : $$\phi(n)=\textrm{card}\{1\leq k\leq n;\ k\textrm{ est premier avec }n\}.$$ $\phi(n)$ est aussi le cardinal de $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^*$, l'ensemble des éléments inversibles de l'anneau $\mathbb Z/n\mathbb Z$.

   Le théorème suivant doit donc être compris comme une extension du petit théorème de Fermat.

Théorème (Euler) : Soit un entier $n>1$. Si $k\in\mathbb Z$ vérifie $k\wedge n=1$, alors $$k^{\phi(n)}\equiv 1\ [n].$$
  Le calcul de l'indicateur d'Euler est donc important. Voici quelques propriétés permettant de le calculer :
  • Si $p$ est premier et $\alpha\geq 1$, $$\phi(p )=p-1\textrm{ et }\phi(p^{\alpha})=p^\alpha-p^{\alpha-1}.$$
  • Si $n\wedge m=1$, alors $$\phi(nm)=\phi(n)\phi(m).$$
  • En particulier, les propriétés précédentes permettent de calculer l'indicateur d'Euler $\phi(n)$ connaissant la décomposition en facteurs premiers de $n$. Ainsi on a $$\phi\left(p_1^{\alpha_1}\right)\dots \phi\left(p_r^{\alpha_r}\right)=\left(p_1^{\alpha_1}-p_1^{\alpha_1-1}\right)\times\dots\times\left(p_r^{\alpha_r}-p_r^{\alpha_r-1}\right)=n\left(1-\frac1{p_1}\right)\dots\left(1-\frac1{p_r}\right).$$
  • On a aussi la propriété suivante : $$n=\sum_{d|n}\phi(d).$$
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