Indépendance en probabilités

Dénombrements et probabilités -- Probabilités
Dénombrements et probabilités -- Probabilités -- Variables aléatoires

  Dans toute la suite, désigne un espace de probabilité.
Evénéments indépendants
Définition : Deux événements A et B sont dits indépendants (par rapport à P) si :
Dire que A et B sont indépendants signifie donc qu'avoir des informations concernant la réalisation de A ne renseigne pas sur la réalisation de B.

Ex :
  1. On lance un dé à 6 faces et on note A l'événement "Obtenir un nombre pair", et B l'événément "Obtenir un multiple de 3". On a :
    Les événements A et B sont indépendants.
  2. On lance deux dés rouges et verts, et on note A l'événement "La somme des numéros fait 6" et B l'événement "Sur le dé rouge, on obtient un nombre pair". Un petit dénombrement de tous les cas possibles montre que :
    Les événements A et B ne sont pas indépendants.
Définition : Soient A1,...,Am m événements.
  • On dit que A1,...,Am sont mutuellement indépendants si, pour toute famille finie J de {1,...,m}, on a :
  • On dit que A1,...,Am sont deux à deux indépendants si, pour tous i et j de {1,...,m},
Par exemple, pour 3 événements A,B et C, ils sont :
  • mutuellement indépendants si :
  • indépendants deux à deux si :
Bien sûr, des événements mutuellement indépendants sont indépendants deux à deux, la réciproque est fausse comme le prouve l'exemple suivant :

Ex : On lance 2 fois une pièce de monnaie. On considère les événements suivants :
A={On obtient pile au 1er lancer}.
B={On obtient face au 2ème lancer}.
C={On obtient la même chose aux 2 lancers}.
Très facilement, on déduit que :
Les événements A,B et C sont donc 2 à 2 indépendants, mais ne sont pas mutuellement indépendants.
Variables aléatoires indépendantes
Définition : Deux variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes si, pour tous boréliens A et B de R :
Cette définition se généralise très naturellement à plusieurs variables mutuellement indépendantes.

Ex : On lance 3 dés. On note X la valeur du chiffre indiqué par le premier dé, Y la valeur du chiffre indiqué par le deuxième, et Z la valeur du chiffre indiqué par le troisième. Alors (X,Y,Z) sont des variables aléatoires mutuellement indépendantes.
Tribus indépendantes
Définition : On dit que les tribus $\tau_1,\dots,\tau_n$ sont indépendantes si : $$\forall (A_1,\dots,A_n)\in \tau_1\times\dots\times\tau_n,\ P(A_1\cap\dots\cap A_n)=\prod_{i=1}^n P(A_i).$$ Une suite de tribus est dite indépendante si toute sous-famille finie l'est.
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