Nombres réels commensurables et incommensurables

Deux nombres réels non nuls sont dits incommensurables s'ils ne sont pas tous les deux des multiples entiers d'un même nombre. Par exemple, $\sqrt 2$ et $3$ sont incommensurables. Ceci revient à dire que leur quotient est un nombre irrationnel (c'est-à-dire qu'il ne s'écrit pas $p/q$, avec $p$ et $q$ des entiers). À l'inverse, les réels $a$ et $b$, avec $b\neq 0,$ sont dits commensurables si le quotient $a/b$ est un nombre rationnel.

C'est un élève de l'école de Pythagore, Hippase de Métaponte, qui le premier aurait trouvé deux longueurs incommensurables. Il aurait en effet prouvé que dans un carré, le côté et la diagonale sont incommensurables. Quelle que soit l'unité de mesure que l'on choisisse, il n'est pas possible qu'à la fois le côté du carré et sa diagonale se mesurent par des nombres entiers. Pythagore et ses disciples en furent si contrariés qu'Hippase fut exclu de l'école. Certaines sources disent même que cette découverte lui valut d'être emmené en mer et jeté par dessus bord par ses condisciples.