Théorème des fonctions implicites

Analyse -- Fonctions de plusieurs variables

  Une courbe plane est souvent définie par une équation $f(x,y)=0$, par exemple le cercle trigonométrique a pour équation $x^2+y^2-1=0$. Pourtant, les courbes que l'on sait tracer ont plutôt pour équation $y=g(x)$. Il arrive qu'au voisinage d'un point $(a,b)$ de la courbe, les solutions de $f(x,y)=0$ peuvent s'exprimer sous la forme $y=g(x)$ pour une certaine fonction $g$. On dit alors que $y$ est une fonction implicite de $x$. Il existe un théorème donnant une condition d'existence d'une telle fonction implicite.

Théorème des fonctions implicites (2 variables)
Théorème : Soit f une fonction de classe $C^k$ définie sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb R^2$, à valeurs dans $\mathbb R$. Soit $(a,b)\in \Omega$ tel que $f(a,b)=0$. On suppose que la dérivée partielle de $f$ par rapport à la seconde variable est non nulle en $(a,b)$ : $$\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\neq 0.$$ Alors il existe un voisinage ouvert $U$ de $(a,b)$ dans $\mathbb R^2$, un intervalle ouvert $I$ de $\mathbb R$ contenant $a$ et une fonction $g:I\to\mathbb R$ de classe $C^k$ telle que, pour tout $(x,y)\in U$ on ait : $$f(x,y)=0\iff y=g(x).$$

  La condition $\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\neq 0$ signifie qu'au point $(a,b)$, les vecteurs tangents à la courbe $f(x,y)=0$ ont une composante en $x$ non nulle. Autrement dit, la courbe "avance le long de l'axe des abscisses". On peut donc exprimer localement $y$ en fonction de $x$.

  Regardons ce que ce théorème signifie sur le cercle $x^2+y^2-1=0$, pour lequel $\frac{\partial f}{\partial y}=2y$.
  • au point (0,1) on a $\frac{\partial f}{\partial y}(0,1)=2\neq 0$. On peut donc exprimer autour de $(0,1)$ $y$ en fonction de $x$. On peut ici donner une formule : $y=\sqrt{1+x^2}$.
  • au point (1,0) on a $\frac{\partial f}{\partial y}(0,1)=0$. On ne peut plus appliquer le théorème des fonctions implicites et effectivement $y$ n'est plus une fonction de $x$ autour de $(1,0)$, car pour $(x,y)$ proches de $(0,1)$ et $x$ fixé, l'équation $x^2+y^2-1=0$ admet deux solutions possibles pour $y$. En revanche, autour de $(1,0)$, on peut exprimer $x$ en fonction de $y$.
Théorème des fonctions implicites (plusieurs variables)
  Le résultat précédent admet une généralisation aux fonctions comportant plus de deux variables, et à valeurs vectorielles. La condition qui apparait ici est l'inversibilité d'une bonne différentielle partielle de l'application.
Théorème : Soit $f$ une fonction de classe $C^k$ définie sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb R^p\times\mathbb R^q$, à valeurs dans $\mathbb R^q$. Soit $(a,b)\in \mathbb R^p\times\mathbb R^q$ tel que $f(a,b)=0$. On suppose que la matrice $$\left(\frac{\partial f_i}{\partial y_j}(a,b)\right)_{p+1\leq i\leq p+q,\ 1\leq j\leq q}$$ est inversible. Alors il existe un voisinage ouvert $U$ de $(a,b)$ dans $\mathbb R^p\times\mathbb R^q$, un voisinage $V$ de $a$ dans $\mathbb R^p$ et une fonction $g:V\to\mathbb R^q$ de classe $C^k$ tels que, pour tout $(x,y)\in U$, on a $$f(x,y)=0\iff y=g(x).$$

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