$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Théorème des fonctions implicites

  Une courbe plane est souvent définie par une équation $f(x,y)=0$, par exemple le cercle trigonométrique a pour équation $x^2+y^2-1=0$. Pourtant, les courbes que l'on sait tracer ont plutôt pour équation $y=g(x)$. Il arrive qu'au voisinage d'un point $(a,b)$ de la courbe, les solutions de $f(x,y)=0$ peuvent s'exprimer sous la forme $y=g(x)$ pour une certaine fonction $g$. On dit alors que $y$ est une fonction implicite de $x$. Il existe un théorème donnant une condition d'existence d'une telle fonction implicite.

Théorème des fonctions implicites (2 variables)
Théorème : Soit f une fonction de classe $C^k$ définie sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb R^2$, à valeurs dans $\mathbb R$. Soit $(a,b)\in \Omega$ tel que $f(a,b)=0$. On suppose que la dérivée partielle de $f$ par rapport à la seconde variable est non nulle en $(a,b)$ : $$\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\neq 0.$$ Alors il existe un voisinage ouvert $U$ de $(a,b)$ dans $\mathbb R^2$, un intervalle ouvert $I$ de $\mathbb R$ contenant $a$ et une fonction $g:I\to\mathbb R$ de classe $C^k$ telle que, pour tout $(x,y)\in U$ on ait : $$f(x,y)=0\iff y=g(x).$$

  La condition $\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\neq 0$ signifie qu'au point $(a,b)$, les vecteurs tangents à la courbe $f(x,y)=0$ ont une composante en $x$ non nulle. Autrement dit, la courbe "avance le long de l'axe des abscisses". On peut donc exprimer localement $y$ en fonction de $x$.

  Regardons ce que ce théorème signifie sur le cercle $x^2+y^2-1=0$, pour lequel $\frac{\partial f}{\partial y}=2y$.
  • au point (0,1) on a $\frac{\partial f}{\partial y}(0,1)=2\neq 0$. On peut donc exprimer autour de $(0,1)$ $y$ en fonction de $x$. On peut ici donner une formule : $y=\sqrt{1+x^2}$.
  • au point (1,0) on a $\frac{\partial f}{\partial y}(0,1)=0$. On ne peut plus appliquer le théorème des fonctions implicites et effectivement $y$ n'est plus une fonction de $x$ autour de $(1,0)$, car pour $(x,y)$ proches de $(0,1)$ et $x$ fixé, l'équation $x^2+y^2-1=0$ admet deux solutions possibles pour $y$. En revanche, autour de $(1,0)$, on peut exprimer $x$ en fonction de $y$.
Théorème des fonctions implicites (plusieurs variables)
  Le résultat précédent admet une généralisation aux fonctions comportant plus de deux variables, et à valeurs vectorielles. La condition qui apparait ici est l'inversibilité d'une bonne différentielle partielle de l'application.
Théorème : Soit $f$ une fonction de classe $C^k$ définie sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb R^p\times\mathbb R^q$, à valeurs dans $\mathbb R^q$. Soit $(a,b)\in \mathbb R^p\times\mathbb R^q$ tel que $f(a,b)=0$. On suppose que la matrice $$\left(\frac{\partial f_i}{\partial y_j}(a,b)\right)_{1\leq i\leq q,\ 1\leq j\leq q}$$ est inversible. Alors il existe un voisinage ouvert $U$ de $(a,b)$ dans $\mathbb R^p\times\mathbb R^q$, un voisinage $V$ de $a$ dans $\mathbb R^p$ et une fonction $g:V\to\mathbb R^q$ de classe $C^k$ tels que, pour tout $(x,y)\in U$, on a $$f(x,y)=0\iff y=g(x).$$ De plus, on a en tout point $(a,b)\in U$ tel que $f(a,b)=0$, $$\frac{\partial g}{\partial x_j}(a)=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x_j}(a)}{J_y f(a,b)}$$ où $J_yf(a,b)$ désigne le déterminant de la matrice précédente.