$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Image, ensemble image, image réciproque

  Soit E,F deux ensembles, et f:E->F une fonction. Si x est un élément de E, on appelle image de x par f l'élément f(x) de F. Réciproquement, si y est un élément de F, on appelle antécédent de y par f tout élément x de E tel que f(x)=y. Un élément a toujours une seule image par une fonction, alors qu'un élément de l'ensemble d'arrivée peut avoir 0,1,2,.... et même une infinité d'antécédents comme le montre l'exemple ci-dessous.

  L'image de 1 est 1, l'image de 2 est 1,.... 1 a deux antécédents : 1 et 2. 2 a un antécédent : 3. 3 a deux antécédents : 4 et 5. 4 n'a pas d'antécédents.
Si A est une partie de E, on appelle ensemble image de A par f, ou tout simplement image de A l'ensemble suivant : f(A)={f(x); xA}. D'autre part, si B est une partie de F, l'image réciproque de B par f est l'ensemble : f-1(B)={xE; f(x)B}. Voyons ce que cela donne sur l'exemple précédent : f({1,2})={1}, f-1({1,3,4})={1,2,4,5}.