$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Quelque idéaux particuliers

Idéal principal
  Un idéal $I$ d'un anneau $A$ est principal s'il est engendré par un unique élément, c'est-à-dire s'il existe $x$ de $I$ tel que tout élément de $I$ s'écrive $ax$, où $a$ est un élément de $A$.
Idéal maximal
  Un idéal $I$ d'un anneau $A$ est maximal si, pour tout autre idéal $J$ de $A$ tel que $I\subset J$, alors on a $J=I$ ou $J=A$. Autrement dit, un idéal est maximal s'il n'existe pas d'autre idéal autre que $A$ strictement plus gros que lui.
Idéal premier
  Un idéal $I$ d'un anneau $A$ est premier si, pour tous éléments $a,b$ de $A$, si $ab$ est élément de $I$, alors ou $a$ est élément de $I$, ou $b$ est élément de $I$. Un idéal maximal est en particulier premier.
Radical d'un idéal
  Dans un anneau commutatif $A$, on appelle radical d'un idéal $I$ l'ensemble des éléments $x$ de $A$ tels qu'il existe une puissance de $x$ qui appartient à $I$ : $$\textrm{rad}(I)=\{x\in A;\ \exists n\geq 1,\ x^n\in I\}.$$ Le radical d'un idéal est lui-même un idéal.
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