Fonctions hyperboliques réciproques
La fonction $\textrm{sh}$ est une bijection de $\mathbb R$ sur $\mathbb R$. Sa réciproque est appelée argument sinus hyperbolique et est notée $\textrm{argsh}$.
La fonction $\textrm{argsh}$ est dérivable sur $\mathbb R,$ sa dérivée est donnée par, pour tout $x\in\mathbb R$ $$\textrm{argsh}'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}.$$ La fonction $\textrm{argsh}$ est impaire, vérifie $$\lim_{x\to+\infty}\textrm{argsh}(x)=+\infty\textrm{ et }\lim_{x\to-\infty}\textrm{argsh}(x)=-\infty.$$ En outre, on peut donner une expression exacte pour $\textrm{argsh}$, qui est $$\textrm{argsh(x)}=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right).$$
La fonction $\textrm{ch}$ est une bijection de $\mathbb R_+$ sur $[1,+\infty[$. Sa réciproque est appelée argument cosinus hyperbolique et est notée $\textrm{argch}$.
La fonction $\textrm{argch}$ est dérivable sur $]1,+\infty[,$ sa dérivée est donnée par, pour tout $x>1,$ $$\textrm{argch}'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}.$$ La fonction $\textrm{argch}$ vérifie $$\lim_{x\to+\infty}\textrm{argch}(x)=+\infty.$$ En outre, on peut donner une expression exacte pour $\textrm{argch}$, qui est $$\textrm{argch}(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right).$$
La fonction $\textrm{tanh}$ est une bijection de $\mathbb R$ sur $]-1,1[.$ Sa réciproque est appelée argument tangente hyperbolique et est notée $\textrm{argth}$.
La fonction $\textrm{argth}$ est dérivable sur $]-1,1[,$ sa dérivée est donnée pour tout $x\in]-1,1[$ par $$\textrm{argth}'(x)=\frac{1}{1-x^2}.$$ La fonction $\textrm{argth}$ est impaire, elle vérifie $$\lim_{x\to 1^-}\textrm{argth}(x)=+\infty\textrm{ et }\lim_{x\to -1^+}\textrm{argth}(x)=-\infty.$$ En outre, on peut donner une expression exacte pour $\textrm{argth}$, qui est $$\textrm{argth}(x)=\frac 12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right).$$