$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Fonctions hyperboliques réciproques

$\textrm{argsh}$

La fonction $\textrm{sh}$ est une bijection de $\mathbb R$ sur $\mathbb R$. Sa réciproque est appelée argument sinus hyperbolique et est notée $\textrm{argsh}$.

La fonction $\textrm{argsh}$ est dérivable sur $\mathbb R,$ sa dérivée est donnée par, pour tout $x\in\mathbb R$ $$\textrm{argsh}'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}.$$ La fonction $\textrm{argsh}$ est impaire, vérifie $$\lim_{x\to+\infty}\textrm{argsh}(x)=+\infty\textrm{ et }\lim_{x\to-\infty}\textrm{argsh}(x)=-\infty.$$ En outre, on peut donner une expression exacte pour $\textrm{argsh}$, qui est $$\textrm{argsh(x)}=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right).$$

$\textrm{argch}$

La fonction $\textrm{ch}$ est une bijection de $\mathbb R_+$ sur $[1,+\infty[$. Sa réciproque est appelée argument cosinus hyperbolique et est notée $\textrm{argch}$.

La fonction $\textrm{argch}$ est dérivable sur $]1,+\infty[,$ sa dérivée est donnée par, pour tout $x>1,$ $$\textrm{argch}'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}.$$ La fonction $\textrm{argch}$ vérifie $$\lim_{x\to+\infty}\textrm{argch}(x)=+\infty.$$ En outre, on peut donner une expression exacte pour $\textrm{argch}$, qui est $$\textrm{argch}(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right).$$

$\textrm{argth}$

La fonction $\textrm{tanh}$ est une bijection de $\mathbb R$ sur $]-1,1[.$ Sa réciproque est appelée argument tangente hyperbolique et est notée $\textrm{argth}$.

La fonction $\textrm{argth}$ est dérivable sur $]-1,1[,$ sa dérivée est donnée pour tout $x\in]-1,1[$ par $$\textrm{argth}'(x)=\frac{1}{1-x^2}.$$ La fonction $\textrm{argth}$ est impaire, elle vérifie $$\lim_{x\to 1^-}\textrm{argth}(x)=+\infty\textrm{ et }\lim_{x\to -1^+}\textrm{argth}(x)=-\infty.$$ En outre, on peut donner une expression exacte pour $\textrm{argth}$, qui est $$\textrm{argth}(x)=\frac 12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right).$$

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