$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Hyperplan

  Pour un espace vectoriel E, les hyperplans sont les analogues des plans pour l'espace usuel de dimension 3. Il y a plusieurs façons de formuler cela rigoureusement :

  • Un hyperplan H de E est un sous-espace vectoriel maximal (pour la relation d'inclusion)! Si F est un autre sous-espace vectoriel de E avec HF, alors ou bien F=H, ou bien F=E.
  • Un hyperplan H de E est un sous-espace vectoriel tel que E se décompose comme la somme directe de H et d'une droite vectorielle.
  • Si E est de dimension finie n, e1,...,en est une base de E, un élément x de E admet les coordonnées x=(x1,...,xn). H est un hyperplan s'il existe des réels a1,...,an non tous nuls tels que x est élément de H si, et seulement si :
    a1x1+...+anxn=0.
    Cette dernière équation est appellée l'équation de l'hyperplan. Dans le cas où E est de dimension infinie, la condition précédente est remplacée par l'existence d'une forme linéaire non nulle l telle que x est élément de H si, et seulement si, l(x)=0.
Lorsqu'on est dans le cas d'un espace affine, un hyperplan affine est le translaté d'un hyperplan vectoriel. Il admet pour équation
a1x1+...+anxn=c,
si E est de dimension finie, ou bien l(x)=c dans tous les autres cas.