$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Hyperboloïde

Hyperboloïde à une nappe
  On appelle hyperboloïde à une nappe de l'espace euclidien toute surface S pour laquelle il existe un repère orthonormé (A,u,v,w) dans lequel S admet pour équation :
x2/a2+y2/b2-z2/c2=1.
Un hyperboloïde à une nappe est donc une des cinq quadriques propres.

Un hyperboloïde à une nappe vérifie les propriétés suivantes :
  • l'intersection avec le plan y=0 est une hyperbole.
  • l'intersection avec un plan z=z0 est une ellipse.
  • si a=b, le hyperboloïde est une surface de révolution autour de (A,w).
  • l'hyperboloïde à une nappe est une surface réglée.
  Un hyperboloïde à une nappe admet le paramétrage suivant :

hyperboloïde à deux nappes
  On appelle hyperboloïde à deux nappes de l'espace euclidien toute surface S pour laquelle il existe un repère orthonormé (A,u,v,w) dans lequel S admet pour équation :
x2/a2+y2/b2-z2/c2=-1.
Un hyperboloïde à deux nappes est donc une des cinq quadriques propres.

Un hyperboloïde à deux nappes vérifie les propriétés suivantes :
  • l'intersection avec le plan y=0 est une hyperbole.
  • l'intersection avec un plan z=z0 est soit vide, soit vide, soit une ellipse, soit un point.
  • si a=b, l'hyperboloïde à deux nappes est une surface de révolution autour de l'axe (A,w).
  Un hyperboloïde à deux nappes admet le paramétrage suivant :
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