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Géométrie hyperbolique, disque et demi-plan de Poincaré

Pendant des siècles, les mathématiciens ont essayé de prouver le 5ème des postulas d'Euclide (étant donnés un point et une droite ne passant pas par ce point, il existe une seule droite passant par ce point et parallèle à la première) à partir des quatre autres postulats. Progressivement, au XIXè siècle, des mathématiciens (parmi lesquels Gauss, Lobachevsky, et Bolyai) ont eu l'idée de considérer des modèles géométriques où on remplace cet axiome par un autre d'un sens totalement différent : étant donnés une droite et un point extérieur à cette droite, il existe au moins deux droites passant par ce point et parallèles à la première droite. Ils se sont rendus compte que l'on construisait ainsi une géométrie différente, mais non contradictoire, pour laquelle on pouvait démontrer des résultats intéressants. Une telle géométrie s'appelle géométrie hyperbolique ou géométrie de Lobachevsky.

Bien sûr, ceci prend tout son sens lorsqu'on a un modèle pour réaliser cette géométrie. L'un des modèles les plus simples est dû à Poincaré : il consiste en le demi-plan supérieur, pour lesquels les points sont les points usuels de ce demi-plan, mais les droites sont données par les demi-cercles orthogonaux à l'axe des abscisses.

Dans ce modèle, les quatre premiers postulats d'Euclide sont vérifiés. Par exemple, par deux points, il passe une unique droite (n'oublions pas qu'ici, une droite est un cercle!). En revanche, le cinquième postulat n'est pas vérifié. Par le point $G$, il passe deux droites parallèles à la troisième droite du dessin (ici, le petit cercle). On peut même montrer que, étant donnée une "droite" de ce demi-plan de Poincaré, il passe par un point extérieur à cette droite une infinité de parallèles. Le plus difficile ici est de calculer les distances entre deux points. C'est toujours les droites qui définissent le plus court chemin entre deux points. On peut alors définir la distance de deux points par une formule...compliquée!

Il existe une variante de ce modèle, le disque de Poincaré. Cette fois, on considère un disque (par exemple, le disque unité), les points sont les points du disque, et les droites sont les arcs de cercle contenus dans le disque et orthogonaux au disque.

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