$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Fonctions hyperboliques

  Les fonctions hyperboliques sont les fonctions sinus hyperbolique, cosinus hyperbolique, tangente hyperbolique. Elles sont définies de la façon suivante.
  • sinus hyperbolique :
    C'est une fonction indéfiniment dérivable qui réalise une bijection de R sur R et dont la courbe représentative est :
  • cosinus hyperbolique :
    C'est une fonction indéfiniment dérivable dont la courbe représentative est :
  • tangente hyperbolique :
    C'est une fonction indéfiniment dérivable qui réalise une bijection de R sur [-1,1] et dont la courbe représentative est :
Ces fonctions vérifient de nombreuses relations proches de celles satisfaites par les fonctions trigonométriques usuelles. Parmi les plus importantes, signalons :

  Le nom "fonction hyperbolique" vient essentiellement de la relation ch2-sh2=1, qui fait que les fonctions ch et sh jouent pour l'hyperbole x2-y2=1 le même rôle que les fonctions sin et cos pour le cercle unité x2+y2=1. Par exemple, si M est le point de coordonnées (cos(t),sin(t)) sur le cercle trigonométrique, alors le paramètre t mesure l'aire du domaine délimité par le cercle, le segment [OM] et son symétrique par rapport à l'axe des abscisses. De même, si M est le point de coordonnée (ch(t),sh(t)) sur l'hyperbole trigonométrique, le paramètre t mesure l'aire du domaine délimité par l'hyperbole, le segment [OM] et son symétrique par rapport à l'origine.

C'est le mathématicien italien Vincenzo Ricatti qui introduisit ces fonctions vers 1760, justement pour calculer l'aire sous une hyperbole.
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