Fonctions hyperboliques

Analyse -- Fonctions classiques

  Les fonctions hyperboliques sont les fonctions sinus hyperbolique, cosinus hyperbolique, tangente hyperbolique. Elles sont définies de la façon suivante.
  • sinus hyperbolique :
    C'est une fonction indéfiniment dérivable qui réalise une bijection de R sur R et dont la courbe représentative est :
  • cosinus hyperbolique :
    C'est une fonction indéfiniment dérivable dont la courbe représentative est :
  • tangente hyperbolique :
    C'est une fonction indéfiniment dérivable qui réalise une bijection de R sur [-1,1] et dont la courbe représentative est :
Ces fonctions vérifient de nombreuses relations proches de celles satisfaites par les fonctions trigonométriques usuelles. Parmi les plus importantes, signalons :

  Le nom "fonction hyperbolique" vient essentiellement de la relation ch2-sh2=1, qui fait que les fonctions ch et sh jouent pour l'hyperbole x2-y2=1 le même rôle que les fonctions sin et cos pour le cercle unité x2+y2=1. Par exemple, si M est le point de coordonnées (cos(t),sin(t)) sur le cercle trigonométrique, alors le paramètre t mesure l'aire du domaine délimité par le cercle, le segment [OM] et son symétrique par rapport à l'axe des abscisses. De même, si M est le point de coordonnée (ch(t),sh(t)) sur l'hyperbole trigonométrique, le paramètre t mesure l'aire du domaine délimité par l'hyperbole, le segment [OM] et son symétrique par rapport à l'origine.

C'est le mathématicien italien Vincenzo Ricatti qui introduisit ces fonctions vers 1760, justement pour calculer l'aire sous une hyperbole.
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