Les fonctions hyperboliques sont les fonctions sinus hyperbolique, cosinus hyperbolique, tangente hyperbolique. Elles sont définies de la façon suivante.

• sinus hyperbolique : C'est une fonction indéfiniment dérivable qui réalise une bijection de R sur R et dont la courbe représentative est :
• cosinus hyperbolique : C'est une fonction indéfiniment dérivable dont la courbe représentative est :
• tangente hyperbolique : C'est une fonction indéfiniment dérivable qui réalise une bijection de R sur [-1,1] et dont la courbe représentative est :

Ces fonctions vérifient de nombreuses relations proches de celles satisfaites par les fonctions trigonométriques usuelles. Parmi les plus importantes, signalons :

  Le nom "fonction hyperbolique" vient essentiellement de la relation ch²-sh²=1, qui fait que les fonctions ch et sh jouent pour l'hyperbole x²-y²=1 le même rôle que les fonctions sin et cos pour le cercle unité x²+y²=1. Par exemple, si M est le point de coordonnées (cos(t),sin(t)) sur le cercle trigonométrique, alors le paramètre t mesure l'aire du domaine délimité par le cercle, le segment [OM] et son symétrique par rapport à l'axe des abscisses. De même, si M est le point de coordonnée (ch(t),sh(t)) sur l'hyperbole trigonométrique, le paramètre t mesure l'aire du domaine délimité par l'hyperbole, le segment [OM] et son symétrique par rapport à l'origine.