Théorème de Hurwitz (en analyse complexe)

Théorème : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions holomorphes sur un domaine $\Omega$ qui converge uniformément, sur tous les compacts de $\Omega$, vers une fonction $f$. Si $f$ a un zéro d'ordre $m$ en $a\in\Omega$, alors il existe $\rho>0$ tel que, pour tout $n$ assez grand, $f_n$ admet exactement $m$ zéros (comptés avec leur multiplicité) dans le disque $D(a,\rho)$.

Théorème : La limite uniforme, sur un ouvert connexe, d'une suite de fonctions holomorphes et injectives, est ou bien une fonction constante, ou bien une fonction holomorphe injective.