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Hôtel de Hilbert

  L'infini possède d'étranges propriétés en mathématiques. Ainsi, tout mathématicien vous dira qu'il existe autant de nombres pairs que de nombres entiers. Pour illustrer ce type de paradoxes, Hilbert imagina un exemple concret, connu depuis sous le nom d'hôtel de Hilbert. Cet hôtel hypothétique possède une infinité de chambres. Un soir, alors que l'hôtel est complet, il se présente un client. Comment faire pour lui trouver une chambre? Hilbert, à la réception, réfléchit un moment, puis trouve une solution : il suffit que chaque client se déplace dans la chambre voisine de la sienne, de sorte que le client qui était dans la chambre 1 occupe ensuite la chambre 2, que celui qui était dans la chambre 2 occupe la chambre 3,etc... Il peut alors convier le nouveau client à s'installer dans la chambre 1.

  Le lendemain, Hilbert a un problème bien plus difficile à résoudre. Toutes les chambres de l'hôtel sont occupées, mais cette fois c'est un bus infini, avec à son bord une infinité de personnes, qui se présente. Comment trouver une chambre pour tout le monde? Là encore, la solution n'est pas difficile : il suffit que tous les occupants déménage dans la chambre dont le numéro est double de la leur. Ainsi, le client qui était dans la chambre 1 occupera désormais la chambre 2, celui qui était dans la chambre 2 occupera la chambre 4, etc... De la sorte, toutes les chambres portant un numéro impair sont désormais libres, et Hilbert peut y installer les nouveaux arrivants!
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