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Homotopie

Définition : Soient X et Y deux espaces topologiques, f et g deux applications continues de X dans Y. On dit que f et g sont homotopes s'il existe F:X×[0,1]->Y continue telle que F(x,0)=f(x) et F(x,1)=g(x) pour tout x de X.
  La définition d'homotopie formalise la notion intuitive de déformation continue d'un objet vers un autre. Par exemple, on peut déformer continument (sans donner de coups de ciseaux) un cercle en une ellipse ou en un carré, ou même le rétrécir en un seul point. On dit que le cercle, le carré, l'ellipse sont homotopes et sont homotopes à un point.

  Pour trouver des exemples naturels d'objets non homotopes, il faut sortir du plan. Prenon le cas d'un anneau et d'un élastique entouré autour de cette anneau. Même en le déformant tant qu'on peut, on ne peut le réduire à un point sans donner de coup de ciseau. Un cercle tracé sur l'anneau (et entourant l'anneau) n'est pas homotope à un point.

Sur cette figure, les cercles tracés en rouge et en violet sur l'anneau ne sont pas homotopes (et ne sont pas homotopes à un point).
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