Homéomorphisme

Soit $X$ et $Y$ deux ensembles munis d'une topologie (parties d'un espace vectoriel normé, d'une espace métrique, d'un espace topologique...). Une application $u$ de $X$ dans $Y$ est un homéomorphisme si $u$ est bijective, et que les applications $u$ et $u^{-1}$ sont continues. On dit aussi que $X$ et $Y$ sont homéomorphes ou que $u$ est bicontinue.

Dire que deux objets sont homéomorphes revient à dire que l'on peut passer de l'un à l'autre par une déformation continue, que l'on aille dans un sens ou dans l'autre. Si l'on a un peu de pâte à modeler, on doit pouvoir passer de $X$ à $Y$ sans rien couper! D'un point de vue purement topologique, les objets $X$ et $Y$ sont les mêmes. Par exemple, un disque et un carré sont homéomorphes. En revanche, aucun de ces deux objets n'est homéomorphe à une chambre à air aplatie, car par des déformations continues, on ne pourra introduire un "trou". La différence entre le disque et le carré, par exemple l'existence du fait que sur un carré il y a des points anguleux, ne peut se lire avec des homéomorphismes. Il est nécessaire d'introduire la notion de difféomorphisme, qui tient compte en plus de la dérivée.

Le théorème suivant concernant les homéomorphismes est important :

Plus généralement, ce théorème reste vrai si $X$ est un espace topologique compact et si $Y$ est un espace topologique séparé. Remarquons qu'automatiquement, $Y$ est alors compact.