$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Fonction höldérienne

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb R$. On dit que $f$ est $\alpha$-höldérienne, où $\alpha\in ]0,1]$, s'il existe une constante $C_\alpha>0$ telle que, pour tous $x,y\in I$, $$|f(x)-f(y)|\leq C_\alpha |x-y|^\alpha.$$ En particulier, si $\alpha=1$, on retrouve la définition des fonctions lipschitziennes.

Pour tout $\alpha\in]0,1],$ toute fonction $\alpha$-höldérienne est continue, et même uniformément continue. Si $I$ est un segment, toute fonction dérivable sur $I$ est $\alpha$-höldérienne, pour tout $\alpha\in ]0,1].$ Cette condition de régularité, qui est donc intermédiaire entre "être continue" et "être dérivable", intervient dans certains théorèmes de sommation des séries de Fourier.

On peut aussi définir une application $\alpha$-höldérienne entre deux espaces métriques $(E,d)$ et $(F,\delta)$, la condition à vérifier étant $$\delta(f(x),f(y))\leq C_\alpha \big(d(x,y)\big)^\alpha.$$

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