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Quelques inégalités célèbres : Cauchy-Schwarz, Hölder, Minkowski, Jensen

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Avec des sommes :
Théorème 1 : Soient des réels (ou des complexes). Alors : $\displaystyle \sum_{k=1}^n\vert u_nv_n\vert\leq \left(\sum_{k=1}^n\vert u_n\vert^2\right)^{1/2}\left(\sum_{k=1}^n\vert v_n\vert^2\right)^{1/2}.$

Démonstration : On considère :

$P$ est donc un polynôme en $\lambda$, de degré inférieur ou égal à 2, toujours positif ou nul. Son discriminant réduit est donc négatif ou nul, ce qui donne l'inégalité recherchée. $\Box$
Avec des intégrales

Théorème 2 : Soient $f,g\in\mathcal{C}([0,1],\mathbb {R})$ . Alors : $\displaystyle \int_0^1\vert fg\vert\leq\left(\int_0^1\vert f\vert^2\right)^{1/2} \left(\int_0^1\vert g\vert^2\right)^{1/2}.$

Démonstration : C'est la même, en considérant cette fois : $$P(\lambda)=\int_0^1 (|f|+\lambda|g|)^2.$$
Dans un espace de Hilbert

Théorème 3 : Soit H un espace préhilbertien. Alors : $\displaystyle \forall (x,y)\in H,\ \vert<x,y>\vert\leq \Vert x\Vert\Vert y\Vert.$
Ce cas général comprend les 2 cas précédents, mais aussi le cas où les séries $\sum\vert u_n\vert^2,\ \sum\vert v_n\vert^2$ convergent, celui des classes de fonctions de carré intégrable....

Inégalité de Hölder

Il s'agit d'une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Définition 1 : Si $p\in[1,+\infty[$ , l'exposant conjugué de p est l'unique $\displaystyle q\in[1,+\infty[\textrm{ tel que }\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ .

Théorème 4 : On fait les mêmes hypothèses que pour les inégalités de Cauchy-Schwarz. On a alors :

$\displaystyle \sum\vert u_k\vert\vert v_k\vert$	$\displaystyle \leq$	$\displaystyle \left(\sum\vert u_k\vert^p\right)^{1/p}\left(\sum\vert v_k\vert^q\right)^{1/q}$
$\displaystyle \int\vert fg\vert$	$\displaystyle \leq$	$\displaystyle \left(\int\vert f\vert^p\right)^{1/p}\left(\int\vert g\vert^q\right)^{1/q}$

Démonstration : Il s'agit essentiellement d'une inégalité de convexité, ou plutôt de concavité, du log. Nous ne faisons que l'inégalité pour les sommes, l'autre se démontrant de façon tout à fait similaire. D'autre part, nous remarquons que, quitte à considérer $\vert u_n\vert\textrm{ et }\vert v_n\vert$ , on peut supposer que tous les nombres sont des réels positifs.

Un lemme fondamental :
Si u,v sont des réels positifs, alors :

$\displaystyle uv\leq \frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}.$

En effet, par concavité du log :
$\displaystyle \log\left(\frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}\right)\geq\frac{\log(u^p)}{p}+\frac{\log(v^q)}{q}=\log(uv).$
Il suffit alors de passer à l'exponentielle.

Un cas particulier crucial :
Nous démontrons pour le moment l'inégalité dans le cas où $\sum\vert u_k\vert^p=1,\ \sum\vert v_k\vert^q=1$ . On a alors, d'après le lemme :
$\displaystyle u_kv_k\leq\frac{u_k^p}{p}+\frac{v_k^q}{q}.$
On somme pour $k=1,\dots,n$ , et on obtient le résultat.

Raisonnement par homogénéité.
Pour obtenir le cas général, il suffit d'appliquer le cas particulier avec :
$\displaystyle \vert u'_k\vert=\frac{\vert u_k\vert}{\left(\sum\vert u_k\vert^p\... ...\vert v'_k\vert=\frac{\vert v_k\vert}{\left(\sum\vert v_k\vert^p\right)^{1/p}}.$

$\Box$

Inégalités de Minkowski

Théorème 5 : On fait les mêmes hypothèses que pour l'inégalité de Hölder. Alors :

$\displaystyle \left(\sum\vert u_k+v_k\vert^p\right)^{1/p}$	$\displaystyle \leq$	$\displaystyle \left(\sum\vert u_k\vert^p\right)^{1/p}+\left(\sum\vert v_k\vert^p\right)^{1/p}$
$\displaystyle \left(\int\vert f+g\vert^p\right)^{1/p}$	$\displaystyle \leq$	$\displaystyle \left(\int\vert f\vert^p\right)^{1/p}+\left(\int\vert g\vert^p\right)^{1/p}$

Démonstration : Il s'agit d'une conséquence de l'inégalité de Hölder. q est l'exposant conjugué de p. On écrit, en utilisant l'inégalité triangulaire :

$\displaystyle \vert u_k\vert\vert u_k+v_k\vert^{p-1}+\vert v_k\vert\vert u_k+v_k\vert^{p-1}$ On prend la somme et on applique l'inégalité de Hölder aux deux sommes obtenues avec les exposants p et q. On trouve :

En remarquant que pq-q=p et que 1/q=1-1/p, on obtient le résultat. $\Box$

Remarquons que si 0<p<1, et que si tous les termes sont réels positifs, alors les inégalités sont inversées. L'inégalité de Minkowski est en fait l'inégalité triangulaire pour la norme $\Vert.\Vert _p$ dans $\ell_p$ ou

Inégalité de Jensen

Théorème 6 : Soient $a,b\in\mathbb {R}\cup\{\pm\infty\}$ avec a<b, $f\in\mathcal{C}([0,1],]a,b[)$ , et $\phi : ]a,b[\to\mathbb {R}$ une fonction convexe. Alors : $$\phi\left(\int_0^1f(x)dx\right)\leq\int_0^1\phi\circ f(x)dx.$$

Démonstration : On rappelle que si $\phi$ est une fonction convexe sur $]a,b[$, alors $\phi$ est continue, dérivable à droite sur $]a,b[$, et : $$\displaystyle \forall c,y\in]a,b[,\ \phi(y)\geq \phi(c)+(y-c)\phi_d'(c)\textrm{ où }\phi_d'(c)\textrm{ est la dérivée à droite en c}.$$ On note $I=\int_0^1 f$, qui est élément de $]a,b[$. Alors, l'inégalité précédente donne avec $y=f(x)$ et $c=I$ :

$\displaystyle \phi\circ f(x)-\phi(I)-(f(x)-I)\phi_d'(I)\geq 0.$

En intégrant cette inégalité, on obtient le résultat. $\Box$
Dans l'inégalité précédente, on peut prendre plus généralement $f\in L^1(X,\mu),\textrm{ où }(X,\mu)$ est un espace de probabilité.

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