$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Quelques inégalités célèbres : Cauchy-Schwarz, Hölder, Minkowski, Jensen


Inégalité de Cauchy-Schwarz
  • Avec des sommes :
    Théorème 1 :   Soient des réels (ou des complexes). Alors :
    $\displaystyle \sum_{k=1}^n\vert u_nv_n\vert\leq \left(\sum_{k=1}^n\vert u_n\vert^2\right)^{1/2}\left(\sum_{k=1}^n\vert v_n\vert^2\right)^{1/2}.$

     

    Démonstration : On considère :

    P est donc un polynôme en $ \lambda$ de degré 2, toujours positif. Comme il ne s'annule pas, son discriminant (réduit) est toujours négatif, ce qui donne l'inégalité recherchée.$ \Box$

  • Avec des intégrales

    Théorème 2 : Soient $ f,g\in\mathcal{C}([0,1],\mathbb {R})$. Alors :
    $\displaystyle \int_0^1\vert fg\vert\leq\left(\int_0^1\vert f\vert^2\right)^{1/2} \left(\int_0^1\vert g\vert^2\right)^{1/2}.$

    Démonstration : C'est la même, en considérant cette fois : $$P(\lambda)=\int_0^1 (|f|^2+\lambda|g|)^2.$$

  • Dans un espace de Hilbert

    Théorème 3 : Soit H un espace préhilbertien. Alors :
    $\displaystyle \forall (x,y)\in H,\ \vert<x,y>\vert\leq \Vert x\Vert\Vert y\Vert.$
    Ce cas général comprend les 2 cas précédents, mais aussi le cas où les séries $ \sum\vert u_n\vert^2,\ \sum\vert v_n\vert^2$ convergent, celui des classes de fonctions de carré intégrable....

Inégalité de Hölder
  Il s'agit d'une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Définition 1 : Si $ p\in[1,+\infty[$, l'exposant conjugué de p est l'unique $ \displaystyle q\in[1,+\infty[\textrm{ tel que }\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.

Théorème 4 :   On fait les mêmes hypothèses que pour les inégalités de Cauchy-Schwarz. On a alors :

$\displaystyle \sum\vert u_k\vert\vert v_k\vert$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \left(\sum\vert u_k\vert^p\right)^{1/p}\left(\sum\vert v_k\vert^q\right)^{1/q}$  
$\displaystyle \int\vert fg\vert$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \left(\int\vert f\vert^p\right)^{1/p}\left(\int\vert g\vert^q\right)^{1/q}$  

Démonstration : Il s'agit essentiellement d'une inégalité de convexité, ou plutôt de concavité, du log. Nous ne faisons que l'inégalité pour les sommes, l'autre se démontrant de façon tout à fait similaire. D'autre part, nous remarquons que, quitte à considérer $ \vert u_n\vert\textrm{ et }\vert v_n\vert$, on peut supposer que tous les nombres sont des réels positifs.

  1. Un lemme fondamental :
    Si u,v sont des réels positifs, alors :
    $\displaystyle uv\leq \frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}.$
    En effet, par concavité du log :
    $\displaystyle \log\left(\frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}\right)\geq\frac{\log(u^p)}{p}+\frac{\log(v^q)}{q}=\log(uv).$

    Il suffit alors de passer à l'exponentielle.

  2. Un cas particulier crucial :
    Nous démontrons pour le moment l'inégalité dans le cas où $ \sum\vert u_k\vert^p=1,\ \sum\vert v_k\vert^q=1$. On a alors, d'après le lemme :
    $\displaystyle u_kv_k\leq\frac{u_k^p}{p}+\frac{v_k^q}{q}.$

    On somme pour $ k=1,\dots,n$, et on obtient le résultat.

  3. Raisonnement par homogénéité.
    Pour obtenir le cas général, il suffit d'appliquer le cas particulier avec :
    $\displaystyle \vert u'_k\vert=\frac{\vert u_k\vert}{\left(\sum\vert u_k\vert^p\...
...\vert v'_k\vert=\frac{\vert v_k\vert}{\left(\sum\vert v_k\vert^p\right)^{1/p}}.$

$ \Box$

Inégalités de Minkowski

Théorème 5 : On fait les mêmes hypothèses que pour l'inégalité de Hölder. Alors :
$\displaystyle \left(\sum\vert u_k+v_k\vert^p\right)^{1/p}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \left(\sum\vert u_k\vert^p\right)^{1/p}+\left(\sum\vert v_k\vert^p\right)^{1/p}$  
$\displaystyle \left(\int\vert f+g\vert^p\right)^{1/p}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \left(\int\vert f\vert^p\right)^{1/p}+\left(\int\vert g\vert^p\right)^{1/p}$  

Démonstration : Il s'agit d'une conséquence de l'inégalité de Hölder. q est l'exposant conjugué de p. On écrit, en utilisant l'inégalité triangulaire :

$\displaystyle \vert u_k\vert\vert u_k+v_k\vert^{p-1}+\vert v_k\vert\vert u_k+v_k\vert^{p-1}$
On prend la somme et on applique l'inégalité de Hölder aux deux sommes obtenues avec les exposants p et q. On trouve :
En remarquant que pq-q=p et que 1/q=1-1/p, on obtient le résultat.$ \Box$

Remarquons que si 0<p<1, et que si tous les termes sont réels positifs, alors les inégalités sont inversées. L'inégalité de Minkowski est en fait l'inégalité triangulaire pour la norme $ \Vert.\Vert _p$ dans $ \ell_p$ ou $ L^p$.

Inégalité de Jensen

Théorème 6 :   Soient $ a,b\in\mathbb {R}\cup\{\pm\infty\}$ avec a<b, $ f\in\mathcal{C}([0,1],]a,b[)$, et $ \phi : ]a,b[\to\mathbb {R}$ une fonction convexe. Alors : $$\phi\left(\int_0^1f(x)dx\right)\leq\int_0^1\phi\circ f(x)dx.$$

Démonstration : On rappelle que si $\phi$ est une fonction convexe sur $]a,b[$, alors $\phi$ est continue, dérivable à droite sur $]a,b[$, et : $$\displaystyle \forall c,y\in]a,b[,\ \phi(y)\geq \phi(c)+(y-c)\phi_d'(c)\textrm{ où }\phi_d'(c)\textrm{ est la dérivée à droite en c}.$$ On note $I=\int_0^1 f$, qui est élément de $]a,b[$. Alors, l'inégalité précédente donne avec $y=f(x)$ et $c=I$ :

$\displaystyle \phi\circ f(x)-\phi(I)-(f(x)-I)\phi_d'(I)\geq 0.$

En intégrant cette inégalité, on obtient le résultat.$ \Box$
Dans l'inégalité précédente, on peut prendre plus généralement $ f\in L^1(X,\mu),\textrm{ où }(X,\mu)$ est un espace de probabilité.

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