Quelques inégalités célèbres : Cauchy-Schwarz, Hölder, Minkowski, Jensen
- Avec des sommes :
Théorème 1 : Soient
des réels (ou des complexes). Alors :
Démonstration : On considère :
$P$ est donc un polynôme en $\lambda$, de degré inférieur ou égal à 2, toujours positif ou nul. Son discriminant réduit est donc négatif ou nul, ce qui donne l'inégalité recherchée.
- Avec des intégrales
Théorème 2 : Soient
. Alors :
Démonstration : C'est la même, en considérant cette fois : $$P(\lambda)=\int_0^1 (|f|+\lambda|g|)^2.$$
- Dans un espace de
Hilbert
Théorème 3 : Soit H un espace préhilbertien. Alors :Ce cas général comprend les 2 cas précédents, mais aussi le cas où les séries
convergent, celui des classes de fonctions de carré intégrable....


Théorème 4 : On fait les mêmes hypothèses que pour les inégalités de Cauchy-Schwarz. On a alors :
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Démonstration : Il s'agit essentiellement d'une inégalité de
convexité, ou plutôt de concavité, du log. Nous ne faisons que l'inégalité
pour les sommes, l'autre se démontrant de façon tout à fait similaire.
D'autre part, nous remarquons que, quitte à considérer , on peut supposer que tous
les nombres sont des réels positifs.
- Un lemme fondamental :
Si u,v sont des réels positifs, alors :- En effet, par concavité du log :
Il suffit alors de passer à l'exponentielle.
- Un cas particulier crucial :
Nous démontrons pour le moment l'inégalité dans le cas où. On a alors, d'après le lemme :
On somme pour
, et on obtient le résultat.
- Raisonnement par homogénéité.
Pour obtenir le cas général, il suffit d'appliquer le cas particulier avec :
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Démonstration : Il s'agit d'une conséquence de l'inégalité de Hölder. q est l'exposant conjugué de p. On écrit, en utilisant l'inégalité triangulaire :







![$ f\in\mathcal{C}([0,1],]a,b[)$](h/holder/img41.gif)
![$ \phi : ]a,b[\to\mathbb {R}$](h/holder/img42.gif)
Démonstration : On rappelle que si $\phi$ est une fonction convexe sur $]a,b[$, alors $\phi$ est continue, dérivable à droite sur $]a,b[$, et : $$\displaystyle \forall c,y\in]a,b[,\ \phi(y)\geq \phi(c)+(y-c)\phi_d'(c)\textrm{ où }\phi_d'(c)\textrm{ est la dérivée à droite en c}.$$ On note $I=\int_0^1 f$, qui est élément de $]a,b[$. Alors, l'inégalité précédente donne avec $y=f(x)$ et $c=I$ :

En intégrant cette inégalité, on obtient le résultat.
Dans l'inégalité précédente, on peut prendre plus généralement est un espace de probabilité.