$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Inégalité de Hoeffding

  L'inégalité de Hoeffding est une version renforcée de l'inégalité de Tchebychev pour les suites de variables aléatoires de Bernoulli.
Théorème : Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes et d'espérance $p$. Alors, pour tout $\varepsilon>0$, notant $S_n=X_1+\dots+X_n$, on a $$P\left(\frac{S_n}n-p\geq\varepsilon\right)\leq \exp(-2n\varepsilon^2).$$
  Cette inégalité est beaucoup plus forte, pour les grandes valeurs de $n$, que l'inégalité de Tchebychev, car la décroissance est exponentielle au lieu d'être polynômiale. Elle peut être généralisée à des variables aléatoires pour lesquelles on contrôle bien l'ensemble des valeurs prises.
Théorème : Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes. Soient $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites de nombres réels telles que, pour tout entier $n$, on a $P(a_n\leq X\leq b_n)=1$. Alors, notant $S_n=X_1+\dots+X_n$, pour tout $t>0$ et tout $n\in\mathbb N$, on a $$P\big(\big|S_n-E(S_n)\big|\geq t\big)\leq 2\exp\left(-\frac{2t^2}{\sum_{k=1}^n (b_k-a_k)^2}\right).$$
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