$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Opérateur de Hilbert-Schmidt

Théorème : Soit $H$ un espace de Hilbert et $T\in\mathcal L(H)$ une application linéaire et continue sur $H$. Soit $(e_n)$ et $(f_n)$ deux bases hilbertiennes de $H$. Alors la série $\sum_n \|Te_n\|^2$ converge si et seulement si la série $\sum_n \|Tf_n\|^2$ converge. Dans ce cas, on a de plus $$\sum_{n\geq 0}\|Te_n\|^2=\sum_{n\geq 0}\|Tf_n\|^2.$$ On dit alors que $T$ est un opérateur de Hilbert-Schmidt et on appelle norme de Hilbert-Schmidt de $H$ la quantité $$\|T\|_{HS}=\left(\sum_{n\geq 0}\|Te_n\|^2\right)^{1/2}.$$
On prouve que l'ensemble des opérateurs de Hilbert-Schmidt, muni de la norme $\|\cdot\|_{HS}$, est un espace complet. De plus, tout opérateur de Hilbert-Schmidt est compact.
Consulter aussi...