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Problèmes de Hilbert

  Le 8 août 1900, à l'occasion du second Congrès International des mathématiciens (à Paris), David Hilbert énonça une liste de 23 problèmes qui devaient être pour lui un guide pour les recherches à venir. Leur résolution devait permettre aux mathématiciens de faire des progrès considérables dans leur science. Ce programme s'est avéré très fécond, et motiva de nombreuses recherches. Voici quelques indications sur ces problèmes :
  • Pb 1 : L'hypothèse du continu est-elle vérifiée? La réponse est que dans la théorie classique des ensembles ceci est indécidable (prouvé par Gödel en 1940, qui démontre qu'on ne peut pas la réfuter, et par Cohen en 1963 qui démontre qu'on ne peut pas la prouver) (en savoir plus).
  • Pb 2 : Peut-on prouver la consistance de l'arithmétique? Autrement dit, est-ce que les axiomes qui définissent l'arithmétique des entiers sont non contradictoires? La réponse est donnée par Gödel en 1931 : on ne peut pas prouver la consistance de l'arithmétique en utilisant les seuls axiomes de l'arithmétique (en savoir plus sur les théorèmes de Gödel).
  • Pb 3 : Etant donné deux polyèdres de même volume, peut-on découper le premier polyèdre en un nombre fini de morceaux, qui sont aussi des polyèdres, de sorte qu'en réarrangeant d'une autre façon ces morceaux, on reconstitue le second polyèdre. Ce problème fut le premier à être résolu, et négativement, par Max Dehn, un élève de Hilbert, en 1902 (en savoir plus).
  • Pb 4 : Trouver toutes les géométries pour lesquelles la distance la plus courte entre deux points est réalisée par les segments de droite. La formulation de ce problème est suffisamment imprécise pour qu'on puisse attribuer sa résolution à plusieurs mathématiciens, notamment à George Hamel, un élève de Hilbert, en 1903.
  • Pb 5 : Peut-on enlever l'hypothèse de dérivabilité dans la définition d'un groupe de Lie? Une réponse positive a été apportée par le théorème de Gleason-Zippin-Montgomery -en savoir plus.
  • Pb 6 : Peut-on mathématiser les axiomes de la physique? Cette question est devenue rapidement obsolète, vue l'évolution divergente de ces deux disciplines.
  • Pb 7 : Est ce ab est transcendant si a est un nombre algébrique, et si b est un nombre irrationnel? Ce problème a été résolu partiellement par Gelfond et Schneider en 1931, qui ont prouvé que c'est vrai si b est supposé en outre algébrique - en savoir plus
  • Pb 8 : La conjecture de Riemann sur les zéros de la fonction Zêta est-elle vraie? En filigrane, c'est la répartition des nombres premiers qui intéresse Hilbert. Cette question est probablement la plus importante parmi les 23 questions à ne pas avoir été résolue. Elle a été reprise dans la liste des 7 problèmes du millénaire - en savoir plus.
  • Pb 9 : Etendre les problèmes de réciprocité (comme la loi de réciprocité quadratique) aux anneaux d'entiers d'un corps algébrique. Ce problème a été résolu par Artin en 1927 - en savoir plus.
  • Pb 10 : Existe-t-il un algorithme universel permettant de déterminer, en un nombre fini d'étapes, si une équation diophantienne admet des solutions. Matiassevich donne une réponse négative en 1970 - en savoir plus.
  • Pb 11 : Peut-on obtenir une classification des formes quadratiques à coefficients dans un anneau d'entiers algébriques semblable à la classification usuelle sur R (avec la signature)? Des résultats très importants sur ce problème ont été obtenu par Hasse (1929) et Siegel (1935).
  • Pb 12 : Il s'agit d'un problème très abstrait, concernant la construction des corps de classes des corps de nombres algébriques. Il a été résolu en 1922 par Takagi (en savoir plus).
  • Pb 13 : Montrer que l'on ne peut pas exprimer les solutions de l'équation générale de degré n à l'aide de fonctions continues de deux variables. Problème résolu par Kolmogorov et son étudiant Arnold en 1954.
  • Pb 14 : Soit K un corps, et L un corps compris entre K et K(x1,...,xn) (corps des fractions sur K à n variables). L'intersection de L et de l'anneau de polynômes K[x1,...,xn] est-elle un anneau finiment engendré? Ce problème a été résolu par la négative par Nagata en 1958, qui a produit un contre-exemple après que Zariski ait traduit ce problème en termes d'invariants de certains groupes de la géométrie projective.
  • Pb 15 : Le principe de continuité de Poncelet affirme que les propriétés d'une figure, invariantes par certaines transformations, ne sont pas modifiées lorsque la figure prend une position limite (par exemple, si des droites deviennent parallèles,...). Ce principe a ensuité été généralisé par Schubert. La 15ème question de Hilbert était de trouver un fondement rigoureux à ce problème. Ce fut fait par Bell, en 1945.
  • Pb 16 : Etudier la topologie des courbes algébriques réelles et des surfaces. Seuls quelques résultats sporadiques ont été obtenus dans cette direction.
  • Pb 17 : Est-ce qu'un polynôme à coefficients réels, à plusieurs variables, et toujours positif, s'écrit comme somme de carrés de fractions rationnelles? Ce problème a été résolu par l'affirmative par Artin en 1927 (en savoir plus).
  • Pb 18 : Quels sont les pavages possibles de l'espace, ou plus généralement de Rn, par des polyèdres tous identiques? Question résolue par Bieberbach en 1910.
  • Pb 19 : Déterminer si les solutions d'équations différentielles ou d'équations aux dérivées partielles régulières sont analytiques. La réponse est positive, comme l'a notamment montré Bernstein en 1929.
  • Pb 20 : Etudier des généralisations du problème de Dirichlet. De nombreux travaux ont été réalisés depuis sur ce sujet.
  • Pb 21 : Montrer qu'il existe toujours une équation différentielle linéaire vérifiant certaines conditions (appartenance à la classe de Fuchs, points singuliers et groupe de monodromie donnés). Ce problème a été résolu par la négative par Bolibruch en 1989.
  • Pb 22 : L'uniformisation des courbes algébriques consiste à trouver une paramétrisation des variables x et y à l'aide d'un seul paramètre. Le 22ème problème de Hilbert consistait en l'uniformisation des fonctions analytiques complexes au moyen des fonctions automorphes. Il a été résolu par Poincaré en 1907.
  • Pb 23 : Le problème 23, très vaste, concernait l'extension des méthodes du calcul des variations et plus généralement l'étude de la régularité des solutions d'équations aux dérivées partielles. Ce problème fait toujours l'objet de recherches actives.
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