Espace de Hilbert
Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien qui est complet pour la norme issue du produit scalaire.
Exemples :
- $\mathbb R^n$ muni du produit scalaire usuel est un espace de Hilbert.
- $\mathbb C^n$ muni du produit hermitien usuel est un espace de Hilbert.
- L'espace $\ell_2(\mathbb N)$ des suites réelles $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ de carré sommable, c'est-à-dire satisfaisant $$\sum_{n\in\mathbb N}|u_n|^2<+\infty,$$ muni du produit scalaire $$\langle u,v\rangle=\sum_{n\in\mathbb N}u_n v_n$$ est un espace de Hilbert. C'est le cas également de l'espace $\ell_2(\mathbb N,\mathbb C)$ des suites complexes $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ dont le module est de carré sommable, c'est-à-dire $$\sum_{n\in\mathbb N}|u_n|^2<+\infty,$$ muni du produit hermitien $$\langle u,v\rangle=\sum_{n\in\mathbb N}u_n\overline{v_n}.$$
- L'espace $L^2([a,b],\mathbb C)$ des fonctions mesurables sur $[a,b]$ et dont le module est de carré intégrable est un espace de Hilbert, muni de $$\langle f,g\rangle=\int_a^b f(t)\overline{g(t)}dt.$$
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