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XVIIè problème de Hilbert

  Soit P un polynôme de R[X] tel que, pour chaque x, P(x) est positif. Les racines de P sont donc de multiplicité paire, et P se factorise sous la forme suivante :
Maintenant, en utilisant l'identité de Lagrange
et en écrivant (x-ai)2=(x-ai)2+02, on obtient par récurrence que P s'écrit P=P12+P22. Autrement dit, tout polynôme positif s'écrit comme somme de carrés de polynômes.

  On peut se demander si cette conclusion est encore vérifiée pour les polynômes à plusieurs variables. Il a été observé par Hilbert que cela n'est pas le cas. Par exemple, le polynôme P(x,y)=x2y2(x2+y2-1)+1 est toujours positif sur R2, mais ne s'écrit pas comme somme de carrés de polynômes (cet exemple n'est pas dû à Hilbert, qui utilisait des arguments indirects, mais date de 1950).

  En 1900, le XVIIè problème que Hilbert posa lors de sa célèbre conférence au congrès international des mathématiciens était la suivante :
Soit P un polynôme en n variables, tel que P(x1,...,xn) est positif pour tout (x1,...,xn) de Rn. P s'écrit-il
où les Qi sont des fractions rationnelles?
Ce problème a été résolu de façon positive par Artin en 1926.
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