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Bibm@th

XIIIè problème de Hilbert

  Prenons l'équation générale du second degré ax2+bx+c=0. Chacun sait que ses solutions (dans le cas du discriminant positif) sont données par :
Considérons maintenant les fonctions de deux variables suivantes :
On peut alors vérifier facilement que x1 est reliée aux coefficients par la formule :
Autrement dit, x1 s'exprime comme composée de fonctions continues de deux variables des coefficients. On savait avant 1900 que cette propriété était vraie pour les équations polynômiales jusqu'au degré 6. Le 13ème problème de Hilbert consistait à savoir si cela restait vrai pour les équations de degré 7. C'est effectivement le cas, comme l'ont prouvé Kolmogorov et son élève Arnold en 1954. Ils ont même prouvé que toute fonction continue à valeurs réelles de plusieurs variables peut s'écrire comme la composée d'un nombre fini de fonctions continues de deux variables.

En fait, Hilbert était persuadé de l'impossibilité de résoudre l'équation de degré 7 par une telle décomposition, et la formulation de son 13ème problème était plutôt : "Montrer l'impossibilité de ...". Kolmogorov et Arnold ont donc répondu par la négative à la question de Hilbert.
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