$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Polynômes de Hermite

  Les polynômes de Hermite sont les polynômes $H_n$ définis pour $n\geq 0$ par : $$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}h_n^{(n)}(x)\textrm{ avec }h_n(x)=e^{-x^2}.$$ En particulier, $H_n$ est un polynôme de degré $n$, de coefficient dominant $2^n$. Les premiers polynômes de Laguerre sont $$\begin{array}{rcl} H_0(x)&=&1\\ H_1(x)&=&2x\\ H_2(x)&=&4x^2-2\\ H_3(x)&=&8x^3-12x. \end{array}$$   Les polynômes de Hermite forment une famille orthogonale pour le produit scalaire $$\langle f,g\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(t)e^{-t^2}dt,$$ et on a de plus $$\langle H_n,H_n\rangle=\sqrt \pi 2^n n!$$ Ils vérifient une relation de récurrence d'ordre 2 : $$H_{n+1}=2XH_n-H_n'.$$ Par ailleurs, $L_n$ est solution de l'équation différentielle suivante, dite équation de Laguerre : $$xy''+(1-x)y'+ny=0.$$   Avec un petit changement de point de vue, on peut déduire de $(H_n)$ une base hilbertienne de $L^2(\mathbb R)$. Elle est donnée par les fonctions $\pi^{-1/4}2^{-n/2}(n!)^{-1/2}H_n(x)e^{-x^2/2}$.
Consulter aussi...