Distance de Hausdorff
Soit $(E,d)$ un espace métrique.
Pour $A$ une partie de $E$, et $rr>0$, on définit le $r$-voisinage de $A$ par
$$V(r,A)=\{x\in E; d(x,A)<r\}.$$
Si $A$ et $B$ sont deux compacts (non vides...) de $E$, on appelle distance de
Hausdorff de $A$ et de $B$ :
On définit ainsi une distance sur l'ensemble $K(E)$ des compacts non vides de E. On a les 2 propriétés suivantes :
- Si $(A_n)$ est une suite décroissante (pour l'inclusion) de compacts, alors elle admet pour la distance de Hausdorff une limite $A$, qui est l'intersection de tous les $A_n$.
- Si $(E,d)$ est complet, alors $(K(E),D)$ est lui aussi complet.
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