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Dictionnaire de mathématiques > Analyse > Analyse complexe >

Théorème de Harnack

Théorème : Soit $(u_n)$ une suite de fonctions harmoniques dans un domaine $U$. Alors
  1. si $(u_n)$ converge uniformément vers $u$ sur les parties compactes de $U$, alors $u$ est harmonique dans $U$.
  2. si la suite $(u_n)$ est croissante (ie $u_1\leq u_2\leq\cdots$), alors ou bien $(u_n)$ converge uniformément sur les parties compactes de $U$, ou bien $(u_n(z))$ converge vers $+\infty$ pour tout $z\in U$.
Le premier point du théorème de Harnack est l'analogue, pour les fonctions harmoniques, du théorème de Weierstrass de convergence des fonctions holomorphes. Le second est une conséquence des inégalités de ... Harnack!
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