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Fonction harmonique

Définition : Une fonction f définie sur un ouvert U de R2 et à valeurs dans C est harmonique si elle est de classe C2 et vérifie :

Les fonctions harmoniques sont intimement liées aux fonctions holomorphes. Ainsi :
  • toute fonction holomorphe est harmonique (c'est une conséquence des équations de Cauchy-Riemann);
  • une fonction f harmonique à valeurs réelles est localement la partie réelle d'une fonction holomorphe : pour tout a de U et tout disque D(a,r) contenu dans U, il existe u holomorphe dans D(a,r) telle que f=Re(u) dans ce disque.
Il n'est donc pas étonnant que fonctions holomorphes et fonctions analytiques partagent de nombreuses propriétés (principe du maximum, principe du prolongement analytique,...). Parmi les propriétés importantes des fonctions harmoniques, mentionnons :
  • la propriété de la moyenne : si f est harmonique dans l'ouvert U, si D(a,r) est un disque contenu dans U, alors
    Autrement dit, la valeur de f en a est la moyenne des valeurs prises par f sur le cercle de centre a et de rayon r.
    Réciproquement, si une fonction f est continue et si elle vérifie la propriété de la valeur moyenne, alors elle est harmonique (en particulier, elle est C2 et même analytique comme toute fonction harmonique).
  • le prolongement harmonique : si u est continue sur le cercle de centre a et de rayon r, il existe une unique fonction f définie sur le disque fermé de centre a et de rayon r qui est harmonique et qui est égale à u sur le cercle. En particulier, le problème de Dirichlet admet toujours une solution pour un disque.
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