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Loi de Hardy-Weinberg

  La loi de Hardy-Weinberg est un théorème qui donne la distribution génotypique dans une population donnée sous un modèle probabiliste de transmission aléatoire des gènes.

  On considère donc un population d'individus dont chaque élément possède une paire de gènes, appelée génotype. Chaque gène peut être de type A ou a (A et a sont les allèles).

  Quand deux individus se croisent, chacun fournit un de ses deux gènes avec probabilité 1/2 à ses descendants. On fait l'hypothèse que pour chaque croisement, tous les individus ont la même probabilité d'être choisis. À la génération $n$, on désigne par $(u_n,2v_n,w_n)$ la distribution génotypique, et par $(p_n,q_n)$ la distribution génique, c'est-à-dire :
  • $u_n$ est la fréquence du génotype AA.
  • $2v_n$ est la fréquence dy génotype Aa.
  • $w_n$ est la fréquence du génotype aa.
  • $p_n=u_n+v_n$ est la fréquence de l'allèle A.
  • $q_n=w_n+v_n$ est la fréquence de l'allèle a.
En particulier, on a $u_n+2v_n+w_n=1$. La loi de Hardy-Weinberg donne alors les résultats suivants :
  1. la distribution génique est constante : pour tout $n$, $p_n=p_0$ et $q_n=q_0$.
  2. la distribution génotypique est stable à partir de la première génération de descendants : pour tout $n\geq 1$, on a $u_n=p_0^2,\ v_n=p_0q_0$ et $w_n=q_0^2$.
En particulier, les fréquence génotypiques sont reliées par la relation $$u_nw_n=v_n^2.$$ Cette dernière relation permet notamment de calculer les fréquences génotypiques quand on ne connait que les fréquences phénotypiques, dans le cas d'un modèle où A est allèle dominant et a est allèle récessif. Dans ce cas, AA et Aa donnent le phénotype A qu'on observe avec une fréquence $x$, tandis que aa donne le phénotype a qu'on observe avec une fréquence $y$. Les relations : $u_n+2v_n=x,\ w_n=y,\ u_nw_n=v_n^2$ permettent de connaitre $u_n$, $v_n$ et $w_n$ alors qu'on ne peut observer que $x$ et $y$.
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