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Espaces de Hardy

  Les espaces de Hardy sont des espaces de fonctions holomorphes sur le disque unité $\mathbb D=\{z\in\mathbb C;\ |z|<1\}$ importants en analyse fonctionnelle. Ils sont définis de la façon suivante. Pour $p>1$, $H^p(\mathbb D)$ est l'ensemble des fonctions holomorphes $f$ sur $\mathbb D$ pour lesquelles $$\sup_{0<r<1}\int_{0}^{2\pi}|f(re^{it})|^p dt<+\infty.$$ On définit alors $$\|f\|_{p}=\sup_{0<r<1}\left(\int_{0}^{2\pi}|f(re^{it})|^p \frac{dt}{2\pi}\right)^{1/p}.$$   Ces espaces peuvent aussi être identifiés à l'espace $$H^p(\mathbb T)=\{f\in L^p(\mathbb T);\ \hat f(n)=0\ \forall n<0\}$$ où $\mathbb T=\{z\in \mathbb C;\ |z|=1\}$ désigne le cercle unité.
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