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Théorème de Hahn-Banach

Le théorème d'Hahn-Banach est un théorème de prolongement d'une forme linéaire continue définie sur un sous-espace d'un espace vectoriel normé à l'espace normé tout entier. Il en existe deux formes, l'une analytique, l'autre géométrique.

Théorème de Hahn-Banach (forme analytique) : Soit $E$ un espace vectoriel normé, $G$ un sous-espace vectoriel de $E$, et $g:G\to\mathbb R$ une forme linéaire continue de norme $\|g\|_G$. Alors il existe une forme linéaire continue $f:E\to\mathbb R$ qui prolonge $g$ et telle que $\|f\|_E=\|g\|_G$.
Théorème de Hahn-Banach (forme géométrique) : Soient $A$ et $B$ deux ensembles convexes non vides disjoints de l'espace vectoriel normé $E$.
  • Si $A$ est ouvert, il existe un hyperplan qui sépare $A$ et $B$ (au sens large).
  • Si $A$ est fermé et $B$ est compact, il existe un hyperplan fermé qui sépare strictement $A$ et $B$.
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