$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Théorème des 3 cercles, des 3 droites d'Hadamard

Le théorème des 3 cercles d'Hadamard permet de contrôler la valeur d'une fonction holomorphe sur un cercle de rayon $r$ quand on sait la contrôler sur deux cercles de centre $r_1<r$ et $r_2>r$.

Théorème : Soient $0\leq r_1<r_2$ et posons $V=\{z\in\mathbb C;\ r_1<r<r_1\}$. Soit $f:\bar V\to\mathbb C$ continue, holomorphe dans $V$, et pour $r$ dans $[r_1,r_2]$, posons $M(r)=\sup\{|f(z)|; |z|=r\}$. Alors pour $\theta\in[0,1]$, si $r\in [r_1,r_2]$ est tel que $\log(r)=\theta\log(r_1)+(1-\theta)\log(r_2)$, on a $$M(r)\leq M(r_1)^{\theta}M(r_2)^{1-\theta}.$$

Autrement dit, la fonction $\ln M(r)$ est une fonction convexe de $\ln r$.

On peut faire la même chose pour des fonctions définies sur une bande verticale.

Théorème : Soit $\Omega=\{z\in\mathbb C;\ 0<\Re e(z)<1\}$ et $g:\bar\Omega\to \mathbb C$ une fonction continue et holomorphe dans $\Omega$. Pour $x$ dans $[0,1]$, on pose $M(x)=sup\{|g(x+it)|; t\in\mathbb R\}$. Alors on a : $$M(x)\leq M(0)^{1-x}M(1)^x.$$

Dans ce cas, la fonction $\ln M(x)$ est une fonction convexe de $x$.

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