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Théorèmes de Guldin

Les théorèmes de Guldin sont des théorèmes permettant de calculer le volume et la surface latérale de volumes de révolution, connaissant la courbe qui les engendre.

Premier théorème de Guldin: L'aire d'une surface de révolution d'axe $(Oz)$ engendrée par la rotation autour de $(Oz)$ d'une courbe de classe $C^1$ par morceaux contenue dans le plan $(xOz)$ est égale au produit de la longueur de la courbe par la longueur du cercle décrit par son centre de gravité.

Par exemple, l'aire latérale d'un cylindre de hauteur $h$ et de rayon $R$ est $H\times 2\pi R$.

Deuxième théorème de Guldin: Le volume engendré par la rotation autour de (Oz) d'une courbe fermée de classe $C^1$ par morceaux contenue dans le plan $(xOz)$ est égal au produit de l'aire englobée par la courbe par la longueur du cercle décrit par le centre de gravité de la surface englobée.
Les deux théorèmes de Guldin apparaissent en fait déjà au IVè siècle après JC dans le livre VII de l'ouvrage Synagoge de Pappus. Il semble que Paul Guldin se soit contenté de les recopier et de se les approprier.
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