$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Groupe fondamental

  Soit X un espace topologique et p un point fixé de X. Un lacet de X basé en p est une application continue de [0,1] dans X telle que f(0)=f(1)=p. Rappelons que deux lacets f et g sont homotopes s'il existe une application continue F:[0,1]->X telle que f(0,t)=f(t), F(1,t)=g(t), F(x,0)=F(x,1)=p.

  Notons l'ensemble quotient des lacets de X basés en p pour la relation d'équivalence "être homotope". On le munit d'une structure de groupe de la façon suivante : la composée des deux lacets f et g est le lacet f×g obtenu en décrivant d'abord f, puis g :
Le groupe s'appelle groupe fondamental, ou groupe de Poincaré de X en p. Il ne dépend pas du point p si X est connexe par arcs. On peut alors parler du groupe fondamental de X.

Théorème : Soient X et Y deux espaces topologiques connexes par arc. Si X et Y sont homéomorphes, alors leur groupes fondamentaux sont isomorphes.

Le groupe fondamental permet donc de déterminer quand deux espaces topologiques ne sont pas homéomorphes.

Ex :
  • Plus généralement, si X est simplement connexe,
  • .
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