Groupe fondamental
Soit $X$ un espace topologique et $p$ un point fixé de $X$. Un lacet de $X$ basé en $p$ est une application continue $f$ de $[0,1]$ dans $X$ telle que $f(0)=f(1)=p$. Rappelons que deux lacets $f$ et $g$ sont homotopes s'il existe une application continue $F:[0,1]\to X$ telle que $F(0,t)=f(t)$, $F(1,t)=g(t)$, $F(x,0)=F(x,1)=p$.
Notons $\Pi_1(X,p)$ l'ensemble quotient des lacets de $X$ basés en $p$ pour la relation d'équivalence "être homotope". On le munit d'une structure de groupe de la façon suivante : la composée des deux lacets $f$ et $g$ est le lacet $f\star g$ obtenu en parcourant d'abord $f$, puis $g$ : $$\left\{ \begin{array}{rcll} f\star g(t)&=&f(2t)&\textrm{ si }t\in[0,1/2]\\ f\star g(t)&=&g(2t-1)&\textrm{ si }t\in [1/2,1]. \end{array}\right.$$ Le groupe $\Pi_1(X,p)$ s'appelle groupe fondamental, ou groupe de Poincaré de $X$ en $p$. Il ne dépend pas du point $p$ si $X$ est connexe par arcs. On peut alors parler du groupe fondamental de $X$.
Le groupe fondamental permet donc de déterminer quand deux espaces topologiques ne sont pas homéomorphes.
- $\Pi_1(\mathbb C)=\{0\}$. Plus généralement, si $X$ est simplement connexe, $\Pi_1(X)=\{0\}$.
- $\Pi_1(\mathbb C\backslash\{0\})=\mathbb Z.$