$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Groupe fondamental

Soit $X$ un espace topologique et $p$ un point fixé de $X$. Un lacet de $X$ basé en $p$ est une application continue $f$ de $[0,1]$ dans $X$ telle que $f(0)=f(1)=p$. Rappelons que deux lacets $f$ et $g$ sont homotopes s'il existe une application continue $F:[0,1]\to X$ telle que $F(0,t)=f(t)$, $F(1,t)=g(t)$, $F(x,0)=F(x,1)=p$.

Notons $\Pi_1(X,p)$ l'ensemble quotient des lacets de $X$ basés en $p$ pour la relation d'équivalence "être homotope". On le munit d'une structure de groupe de la façon suivante : la composée des deux lacets $f$ et $g$ est le lacet $f\star g$ obtenu en parcourant d'abord $f$, puis $g$ : $$\left\{ \begin{array}{rcll} f\star g(t)&=&f(2t)&\textrm{ si }t\in[0,1/2]\\ f\star g(t)&=&g(2t-1)&\textrm{ si }t\in [1/2,1]. \end{array}\right.$$ Le groupe $\Pi_1(X,p)$ s'appelle groupe fondamental, ou groupe de Poincaré de $X$ en $p$. Il ne dépend pas du point $p$ si $X$ est connexe par arcs. On peut alors parler du groupe fondamental de $X$.

Théorème : Soit $X$ et $Y$ deux espaces topologiques connexes par arcs. Si $X$ et $Y$ sont homéomorphes, alors leurs groupes fondamentaux sont isomorphes.

Le groupe fondamental permet donc de déterminer quand deux espaces topologiques ne sont pas homéomorphes.

Exemple :
  • $\Pi_1(\mathbb C)=\{0\}$. Plus généralement, si $X$ est simplement connexe, $\Pi_1(X)=\{0\}$.
  • $\Pi_1(\mathbb C\backslash\{0\})=\mathbb Z.$
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