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Groupe topologique


  Un groupe topologique (G,*) est un groupe muni d'une topologie pour laquelle les applications :

(x,y) x*y
et
x x-1

où x-1 désigne le symétrique d'un élément x pour la loi * sont continues. On peut montrer que la continuité de ces deux applications équivaut à celle de : (x,y) x*y-1. Dans le cas additif, il s'agira alors simplement de l'application (x,y) x - y et dans le cas multiplicatif de l'application (x,y) x/y.

  L'étude des groupes topologiques est une jolie théorie qui relie les propriétés algébriques de la loi de groupe aux propriétés d'analyse issues de la topologie. Par exemple, on prouve facilement que si G est un groupe topologique, alors un sous-groupe H de G qui est ouvert est aussi fermé : en effet, le complémentaire de H dans G est la réunion des xH, pour x décrivant G-H. Or chaque xH est ouvert, car la translation est continue, et une réunion d'ouverts est un ouvert. Le complémentaire de H est donc ouvert. C'est bien que H est fermé.

Par ailleurs, le cadre des groupes topologiques, plus précisément des groupes abéliens localement compacts, est le bon cadre pour définir la transformée de Fourier. On peut alors étudier la transformée de Fourier sur R et les séries de Fourier de façon unifiée.