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Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Groupes > Théorie générale >

Groupe

Définition : On appelle groupe un ensemble G muni d'une loi interne × telle que :
(i) la loi × est associative : pour tous x,y,z de G, on a x×(y×z)=(x×y)×z
(ii) il existe un élément neutre e : pour tout x de G, x×e=e×x=x.
(iii) Tout élément possède un symétrique : pour tout x de G, il existe y de G avec x×y=y×x=e.

  Si la loi × est commutative, on parle de groupe commutatif (ou abélien). On peut prouver que l'élément neutre est unique, et que le symétrique de tout élément x est unique : il est souvent noté x-1.

Ex :
  • Z, muni de +, est un groupe.
  • R*, muni de ., est un groupe.
  • N, muni de +, n'est pas un groupe : 3 n'a pas de symétrique.
  • L'ensemble des bijections d'un ensemble X, muni de la composition des fonctions, est un groupe : on l'appelle groupe des permutations de X.
Cette définition peut sembler abrupte. Il faut bien comprendre qu'en mathématiques, l'introduction de définitions si abstraites se fait souvent après de longues années, ou de longs siècles de travaux. Dans ce cas particulier, les mathématiciens s'étaient rendus compte depuis de nombreuses années que certains ensembles avaient des propriétés communes. Et c'est Galois, vers 1820, lors de travaux pour caractériser les équations du 5è degré résolubles par radicaux, qui a ressenti le besoin d'introduire cette notion abstraite de groupes, et de l'étudier pour elle-même.
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