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Groupe abélien de type fini

Un groupe abélien de type fini est un groupe commutatif engendré par un nombre fini d'éléments. On a un théorème de structure très simple pour de tels groupes.

Théorème : Soit $G$ un groupe abélien de type fini. Il existe un unique entier $\ell\geq 0$ et une unique suite finie $(a_1,\dots,a_k)$ d'entiers supérieurs ou égaux à $2$ tels que $G$ soit isomorphe au produit direct $$\mathbb Z^l\times (\mathbb Z/a_1\mathbb Z)\times\cdots\times (\mathbb Z/a_k\mathbb Z)$$ avec la condition supplémentaire $a_j|a_{j+1}$ pour $j=1,\dots,k-1$.

Lorsqu'on part d'un groupe fini, on a toujours $\ell=0$ dans le théorème précédent, qui porte alors le nom de théorème de Kronecker. Les sous-groupes $\mathbb Z/a_i\mathbb Z$ sont alors appelés les facteurs invariants de $G$.

Ce théorème de structure est un cas particulier d'un théorème de structure sur les $A$-modules de type fini, où $A$ est un anneau principal.
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