$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Formules de Green et de Green-Riemann

Le nom de formule de Green (ou formule de Green-Riemann) est le nom donné à plusieurs formules dont l'intérêt est d'exprimer une intégrale sur une surface comme une intégrale curviligne sur le bord de cette surface.

Formule de Green-Riemann
Théorème : Soit $K$ un compact de $\mathbb R^2$ dont la frontière $\partial K$ est constituée d'une réunion finie de courbes de classe $C^1$. On oriente la frontière de $K$ sorte que en parcourant la frontière dans le sens de l'orientation, $K$ soit constamment sur la gauche. Soit de plus $\vec F=(P,Q)$ un champ de vecteurs $C^1$ par morceaux sur $K$. Alors $$\int_{\partial K}Pdx+Qdy=\int\!\!\int_{K}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy.$$
Autrement dit, on remplace l'intégrale curviligne de la forme différentielle $Pdx+Qdy$ sur le bord de $K$ par une intégrale double. Le dessin suivant montre l'orientation choisie :
Formules de Green

Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbb R^n$ à frontière $\partial \Omega$ de classe $\mathcal C^1$. Soit $\mathbf n$ le vecteur unitaire sortant à $\partial \Omega$. Plus précisément, si $\rho$ est une fonction définissante de $\Omega$ (ie si $\Omega=\{x\in\mathbb R^n;\ \rho(x)<0\}$ et $\nabla \rho$ ne s'annule pas), alors $\mathbf n=\frac{1}{\|\nabla\rho\|}\nabla \rho$. Si $u$ est une fonction de classe $\mathcal C^1$ au voisinage de $\partial \Omega$, on note $\frac{\partial u}{\partial \mathbf n}$ la dérivée normale de $u$ en un point de $\partial \Omega$, c'est-à-dire $\frac{\partial u}{\partial \mathbf n}=\langle \nabla u,\mathbf n\rangle$.

Théorème : Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbb R^n$ à frontière $\partial \Omega$ de classe $\mathcal C^1$. Soit $u,v$ deux fonctions de classe $\mathcal C^2$ dans $\overline{\Omega}$. Alors
  • Première formule de Green : $$\int_{\Omega}\Delta ud\lambda=\int_{\partial \Omega}\frac{\partial u}{\partial \mathbf n}d\sigma$$ où $d\lambda$ est la mesure de Lebesgue et $d\sigma$ la mesure euclidienne sur $\partial \Omega$.
  • Deuxième formule de Green : $$\int_{\Omega}\left(v\Delta u-u\Delta v\right) d\lambda=\int_{\partial \Omega}\left(v\frac{\partial u}{\partial \mathbf n} -u\frac{\partial v}{\partial \mathbf n}\right)d\sigma.$$
Une formule de Green utile pour les fonctions harmoniques
Théorème : Soit $u$ une fonction définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^2$, à valeurs dans $\mathbb R$. On pose $z=x+iy$, et $D$ le disque de centre $z_0$ et de rayon $r>0$. Alors on a : $$u(z_0)=\int_0^{2\pi}u(z_0+re^{it})\frac{d\theta}{2\pi}+\frac1{2\pi}\int\!\!\int_D\Delta u(z)\log\frac{|z-z_0|}r dxdy.$$
Ainsi, si le laplacien d'une fonction est nulle, elle vaut en un point la valeur moyenne prise sur un cercle de centre ce point : c'est la propriété de la valeur moyenne vérifiée par les fonctions harmoniques.
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