$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Grand cercle et distance terrestre

  Dans l'espace, un grand cercle d'une sphère est l'intersection entre cette sphère et un plan passant par le centre de la sphère. En particulier, le rayon d'un grand cercle est égal au rayon de la sphère.

  Sur la sphère, la plus courte distance entre deux points A et B et l'arc entre A et B du grand cercle intersection de la sphère et du plan passant par O, A et B.
Application numérique :
  La petite application suivante permet de déterminer la distance entre deux points A et B sur la terre. Les coordonnées à rentrer sont celles que l'on trouve habituellement dans les tables, exprimées en degrés (puis minutes) de latitude sud ou nord, et de longitude est ou ouest.

Calcul de distance entre deux points du globe terrestre

Latitude

Coordonnées du premier point

Longitude

deg

°

min

'

N/S

deg

°

min

'

E/W

Latitude

Coordonnées du second point

Longitude

deg

°

min

'

N/S

deg

°

min

'

E/W

Distance entre les deux points :

Méthode de calcul : Notons O le centre de la terre et l'angle
.
La distance entre A et B vaut . Il faut donc calculer l'angle . Pour cela, on va calculer le produit scalaire de ces deux vecteurs. En effet, il vaut
On peut calculer ce produit scalaire d'une autre façon, en utilisant le fait que l'on connait les coordonnées sphériques de A et de B. En effet, si désignent respectivement la longitude et la latitude de A, si désignent respectivement la longitude et la latitude de A, et si R est le rayon de la terre, alors les coordonnées (cartésiennes) de A et de B sont
Il vient
La distance recherchée vaut donc
La petite application précédente réalise exactement ce calcul, en prenant soin de bien convertir les angles en radians!
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