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Déterminant de Gram

Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, et une famille de $r$ vecteurs de $E$. On appelle matrice de Gram de cette famille la matrice formée par tous les produits scalaires :

Son déterminant, noté Gram(u), est appelé le déterminant de Gram de $u$.

La matrice de Gram est toujours positive. En outre, le déterminant est non nul si, et seulement si, la famille est libre. Surtout, les déterminants de Gram permettent de calculer des distances :

Théorème : Soit $V$ un sous-espace de $E$, muni d'une base (pas forcément orthonormale), et dans $E$. Alors la distance $d$ de à $V$ est donnée par :
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