Théorèmes de Goursat et Morera
Théorème de Goursat : Soit $U$ un ouvert étoilé et soit $f$ une fonction continue sur $U$ et holomorphe dans un
$U$ sauf éventuellement en un nombre fini de points. Alors on a
$$\int_C f(z)dz=0$$
pour tout circuit $C$ tracé dans $U$.
Le théorème de Morera est une sorte de réciproque au théorème de Goursat qui dit que toute fonction qui vérifie la propriété précédente est en fait holomorphe.
Théorème de Morera : Si $f$ est une fonction continue dans un ouvert $U$ qui vérifie
$$\int_C f(z)dz=0$$
pour tout circuit $C$ tracé dans U, alors $f$ est holomorphe.
La terminologie n'est pas complètement fixée pour ces résultats d'analyse complexe. Le théorème de Goursat tel que nous l'avons énoncé
est parfois appelé théorème intégral de Cauchy par certains auteurs. Le nom de théorème de Goursat est alors réservé à un résultat préliminaire
où on n'autorise que l'intégration sur des triangles ou sur des rectangles, et où on demande à la fonction d'être holomorphe au voisinage de ce triangle
(y compris l'intérieur!) ou de ce rectangle. Par ailleurs, le théorème de Morera reste vrai si on demande simplement que $C$ est n'importe quel
triangle tracé dans $U$.
Consulter aussi...