$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Phénomène de Gibbs

  Considérons la fonction suivante :

  • f=-1 sur [-,0]
  • f=1 sur [0,].
Ce type de fonctions est bien sûr très fréquent en physique (il s'agit d'une fonction de type échelon, souvent fournie par exemple par des générateurs électriques en "créneaux"). Dans leurs études, les physiciens remplacent souvent les fonctions par leur série de Fourier, qui en constitue souvent une bonne approximation. La série de Fourier de f est ici :
Si l'on étudie la suite des sommes partielles de cette série de Fourier, on constate que le maximum de chacune des fonctions tend vers la constante
le maximum étant atteint tout près du point 0. La simulation Geolabo suivante prouve qu'effectivement, si loin de 0 la série de Fourier "colle" à la fonction, à la proximité de 0 il reste toujours une bosse! Faites glisser le curseur!


  Plus généralement, au voisinage d'un point où une fonction f a une discontinuité, les sommes partielles de la série de Fourier présenteront un dépassement substantiel en ce point : c'est ce que l'on appelle le phénomène de Gibbs.