Phénomène de Gibbs

Considérons la fonction suivante :

Ce type de fonctions est bien sûr très fréquent en physique (il s'agit d'une fonction de type échelon, souvent fournie par exemple par des générateurs électriques en "créneaux"). Dans leurs études, les physiciens remplacent souvent les fonctions par leur série de Fourier, qui en constitue souvent une bonne approximation. La série de Fourier de $f$ est ici $$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac 4\pi\frac{\sin\big((2k+1)x\big)}{2k+1}.$$ Si l'on étudie la suite des sommes partielles de cette série de Fourier, on constate que le maximum de chacune des fonctions tend vers la constante $$\frac 2\pi\int_0^{\pi}\frac{\sin t}{t}dt\simeq 1,\!18,$$ le maximum étant atteint tout près du point 0. Autrement dit, la série de Fourier de $f$ réalise une très mauvaise approximation de $f$ autour de $0$. C'est le phénomène de Gibbs! Plus généralement, si $f$ est une fonction $2\pi$-périodique, $\mathcal C^1$ par morceaux, et si $x_0$ est un point de discontinuité de $f$, avec $$f(x_0^+)-f(x_0^-)=a>0,$$ alors, si $S_N$ désigne la série de Fourier de $f$, on a $$\lim_{N\to+\infty}S_N\left(x_0+\frac{\pi}{N}\right)=f(x_0^+)+\kappa a$$ où $\kappa=\frac 12\left(\frac 2\pi \int_0^\pi\frac{\sin t}tdt-1\right)$.

Ce phénomène dit de Gibbs a en réalité été découvert par le mathématicien Henry Wilbraham en 1847, une cinquantaine d'années avant que Gibbs lui-même ne le redécouvre.