$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Cercles de Gergshgorin

  Le théorème de Gershgorin permet, étant donnée une matrice carrée A, de construire un domaine contenant toutes les valeurs propres de A.
Théorème : Soit A=(ai,j) une matrice complexe de taille n. On appelle disques de Gershgorin associés à A les n disques de C définis par
où i est dans {1,...,n}. Si est une valeur propre de A, alors elle appartient à un des disques de Gershgorin de A.
  La preuve de ce résultat est étonnament simple. Prenons en effet x un vecteur propre (non nul) associé à la valeur propre, et soit i tel que |xi| soit maximum. Puisque x est vecteur propre pour , on a
On divise ensuite par xi (qui n'est pas nul car x est non nul), on prend le module et on utilise l'inégalité triangulaire. On obtient donc :
qui à son tour donne le résultat, puisque |xj|/|xi|<=1.

  C'est un résultat très intéressant, car la recherche de valeurs propres est en général un problème compliqué (il faut trouver les racines d'un polynôme). Le théorème de Gershgorin donne des informations précieuses sur leur localisation.