$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthode de Gauss

  La méthode de Gauss est une méthode de calcul numérique d'intégrales à poids. Elle constitue une application directe de la théorie des polynômes orthogonaux. Toutefois, elle a un intérêt théorique plus que pratique.

  Soit donc w un poids défini sur l'intervalle ]a,b[, c'est-à-dire une fonction continue et strictement positive. On s'intéresse aux méthodes d'intégration approchée du type :
La méthode de Gauss est celle donnée par le théorème suivant :

Théorème : Il existe un et un seul choix des points xj et des coefficients aj tels que la méthode soit d'ordre 2l+1. Les points xj sont les racines du (l+1)-ième polynôme orthogonal pour le poids w.

  L'intérêt de la méthode de Gauss est donc de réaliser l'ordre maximal pour un nombre fixé de points d'interpolation. Néanmoins, la complexité du calcul des zéros des polynômes orthogonaux fait qu'elle n'est guère employée, sauf dans le cas où sur ]-1,1[. Dans ce cas, les polynômes orthogonaux considérés sont les polynômes de Tchebychev. Les racines xj valent
et on démontre que
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